Что такое иррациональное число

Определение иррационального числа

Определение

Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби $\frac{m}{n}$ .

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .

Например. Иррациональными числами являются:

  • $\sqrt{n}$ для любого натурального $n$, не являющегося точным квадратом;
  • $e^{x}$ для любого рационального $x \neq 0$ ;
  • $\ln x$ для любого положительного рационального $x \neq 1$ ;
  • $\pi$, а также $\pi^{n}$ для любого целого $n \neq 0$ .

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе - последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac{1}{9}$$

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число  $\frac{1}{9}$ , которое является рациональным.

Пример

Задание. Доказать, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби  $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

$$3=\frac{m^{2}}{n^{2}} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=m^{2}$$

Число 3$\cdot n^{2}$ делится на 3. Поэтому $m^{2}$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 \cdot k$, равенство $3 \cdot n^{2}=m^{2}$ можно записать в виде

$$3 \cdot n^{2}=(3 \cdot k)^{2} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=9 \cdot k^{2} \Leftrightarrow n^{2}=3 \cdot k^{2}$$

Из последнего равенства следует, что $n^{2}$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.

Что и требовалось доказать.

Читать дальше: что такое кратное число.

Другая информация