Натуральной $n$-й степеньюдействительного числа
$a$ называется действительное число
$b$, получаемое в результате умножения числа
$a$ самого на себя
$n$ раз:
$n$-ю степень числа
$a$ обозначают
$a_n$ и пишут
$b=a_n$ . Число
$a$ называется основанием степени, а
$n$ - показателем степени.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 454 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Корнем $n$-й степени (или арифметическим корнем
$n$-й степени) из положительного действительного числа
$a$ называется такое положительное число,
$n$-й степень которого равен
$a$.
Арифметический корень $n$-й степени из числа
$a$ обозначают
$\sqrt[n]{a}$ .
Например. $\sqrt[3]{8} = 2$ , так как
$2^3 = 8$ и
$2 \gt 0$ .
При четном $n$ существует два корня
$n$-й степени из любого положительного числа
$a$ ; корень
$n$-й степени из числа 0 равен 0; корней четной степени
из отрицательных чисел не существует. При нечетном
$n$ существует корень
$n$-го степени из любого числа
$a$, и притом только один.
Для корней нечетной степени справедливо равенство
$$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$$
Пример
Задание. Решить уравнения:
1) $x^4 = 81$ ;
2) $y^3 = -125$ ;
3) $z^2 = -16$
Решение. 1) Степень
$x$ четная, поэтому возможны два значения:
$$x_{1}=\sqrt[1]{81}=3, x_{2}=-\sqrt[1]{81}=-3$$
2) Степень $y$ нечетная, поэтому
данное уравнение имеет единственный корень:
$$y=\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$$
3) Это уравнение можно преобразовать к виду:
$z = \sqrt{-16}$ . Нельзя извлечь корень четной степени из
отрицательного числа. Поэтому действительных корней данное уравнение не имеет.
Ответ. 1) $x_1 = 3, x_2 = -3$
2) $y = -5$
3) решений нет.
Для любого $x$
Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают.
Например. Корень квадратный из 7 обозначают просто $\sqrt{7}$ .
Корень третей степени называют кубичным корнем: $\sqrt[3]{a}$ .
Алгебраические свойства корней
Для любых натуральных
$n$ и
$k$, больших единицы, и любых неотрицательных
$a$ и
$b$ верны равенства:
Степенью числа
$a \gt 0$ с рациональным показателем
$r = \frac{m}{n}$, где
$m$ - целое число, а
$n$ - натуральное
($n \gt 1$), называется число
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. При
$a \lt 0$ , рациональная степень числа
$a$ не определена. Все свойства степеней с
натуральным показателем справедливы так же и для степеней с рациональным показателем.