Содержание:

Определение степени числа

Натуральной $n$-й степенью действительного числа $a$ называется действительное число $b$, получаемое в результате умножения числа $a$ самого на себя $n$ раз:

$n$-ю степень числа $a$ обозначают $a_n$ и пишут $b=a_n$ . Число $a$ называется основанием степени, а $n$ - показателем степени.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить:  $\frac{100^{3} \cdot 10^{8}}{2^{13} \cdot 5^{13}}$

Решение. Воспользуемся свойствами степени

$$\frac{100^{3} \cdot 10^{8}}{2^{13} \cdot 5^{13}}=\frac{\left(10^{2}\right)^{3} \cdot 10^{8}}{(2 \cdot 5)^{13}}=\frac{10^{2 \cdot 3} \cdot 10^{8}}{10^{13}}=\frac{10^{6} \cdot 10^{8}}{10^{13}}=$$ $$=10^{6+8-13}=10^{1}=10$$

Ответ.  $\frac{100^{3} \cdot 10^{8}}{2^{13} \cdot 5^{13}} = 10$

Слишком сложно?

Что такое степень числа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Представить в виде степени $\left(y^{n+5}\right)^{2}:\left(\left(-y^{2}\right)^{3}\right)^{2}$ следующее выражение:

Решение. Решение. Используя свойства степеней, получим:

$$\left(y^{n+5}\right)^{2}:\left(\left(-y^{2}\right)^{3}\right)^{2}=y^{2(n+5)}:\left(-y^{2 \cdot 3}\right)^{2}=$$ $$=y^{2 n+10}:\left(-y^{6}\right)^{2}=y^{2 n+10}: y^{6 \cdot 2}=$$ $$=y^{2 n+10}: y^{12}=y^{2 n+10-12}=y^{2 n-2}$$

Ответ.  $\left(y^{n+5}\right)^{2}:\left(\left(-y^{2}\right)^{3}\right)^{2}=y^{2 n-2}$

Корень $n$-й степени

Корнем $n$-й степени (или арифметическим корнем $n$-й степени) из положительного действительного числа $a$ называется такое положительное число, $n$-й степень которого равен $a$.

Арифметический корень $n$-й степени из числа $a$ обозначают $\sqrt[n]{a}$ .

Например. $\sqrt[3]{8} = 2$ , так как $2^3 = 8$ и $2 \gt 0$ .

При четном $n$ существует два корня $n$-й степени из любого положительного числа $a$ ; корень $n$-й степени из числа 0 равен 0; корней четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном $n$ существует корень $n$-го степени из любого числа $a$, и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

$$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$$

Пример

Задание. Решить уравнения:

1) $x^4 = 81$   ;   2) $y^3 = -125$   ;   3) $z^2 = -16$  

Решение. 1) Степень $x$ четная, поэтому возможны два значения:

$$x_{1}=\sqrt[1]{81}=3, x_{2}=-\sqrt[1]{81}=-3$$

2) Степень $y$ нечетная, поэтому данное уравнение имеет единственный корень:

$$y=\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$$

3) Это уравнение можно преобразовать к виду: $z = \sqrt{-16}$ . Нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Поэтому действительных корней данное уравнение не имеет.

Ответ.  1) $x_1 = 3, x_2 = -3$

             2) $y = -5$

             3) решений нет.

Для любого $x$

Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают.

Например. Корень квадратный из 7 обозначают просто $\sqrt{7}$ .

Корень третей степени называют кубичным корнем: $\sqrt[3]{a}$ .

Алгебраические свойства корней

Для любых натуральных $n$ и $k$, больших единицы, и любых неотрицательных $a$ и $b$ верны равенства:

Степенью числа $a \gt 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное ($n \gt 1$), называется число $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. При $a \lt 0$ , рациональная степень числа $a$ не определена. Все свойства степеней с натуральным показателем справедливы так же и для степеней с рациональным показателем.


Читать дальше: что такое модуль числа.