Что такое действительное число

Определение действительного числа

Определение

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .

Например.  $\frac{2}{3} ; 0,754 ;-23 ;-\frac{5}{4} ; 113 ;-\sqrt[3]{2} ;-2,34 ; \frac{1}{\pi}$ - все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом

Свойства операции сложения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

    $$a+b=b+a$$

  2. Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

    $$(a+b)+c=a+(b+c)$$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$

    $$a+0=0+a=a$$

  4. Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что

    $$a+(-a)=(-a)+a=0$$

    число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается

Пример

Задание. Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$

Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$

Разность: $23-12,4=10,6$

Ответ.

$23+12,4=35,4$

$23-12,4=10,6$

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$

    $$a \cdot b=b \cdot a$$

  2. Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$

    $$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$$

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$

    $$a \cdot 1=1 \cdot a$$

  4. Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что

    $$a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$$

    число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$

$$c=a \cdot \frac{1}{b}$$

называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается

Пример

Задание. Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$

Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 \cdot 5=6$

Частное: $1,2 : 5=1,2 \cdot \frac{1}{5}=1,2 \cdot 0,2=0,24$

Ответ.

$1,2 \cdot 5=6$

$1,2 : 5=0,24$

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

$$(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$$


Читать дальше: что такое четное число.

Другая информация