Рациональные числа

Определение

Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{m}{n}$, где целое число $m$ называется числителем дроби, а натуральное число $n$ - знаменателем дроби.

Рациональные числа - это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и нуль.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Две рациональные дроби $\frac{m}{n}$ и $\frac{p}{q}$ называются эквивалентными, если $mq = np$.

Пример

Дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ эквивалентные, так как $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$

Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой дробей.

Сравниваются рациональные числа следующим образом:

  1. Всякое положительное рациональное число больше нуля.
  2. Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.
  3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Пример

$6>0 ;-5<0 ; 4>-3 ;-7 <-2$, так как $|-7|=7>|-2|=2$


Арифметические операции с рациональными числами

Сложение рациональных чисел. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.

Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из числа с большей абсолютной величиной вычесть число с меньшей абсолютной величиной и поставить знак числа, большего по модулю.

Пример

Задание. Вычислить $4+\frac{5}{2} ;-4+\left(-\frac{5}{2}\right) ;(-4)+\frac{5}{2}$

$$\begin{array}{l} 4+\frac{5}{2}=+\left(|4|+\left|\frac{5}{2}\right|\right)=+\left(4+\frac{5}{2}\right)=\frac{8}{2}+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} \\ -4+\left(-\frac{5}{2}\right)=-\left(|-4|+\left|-\frac{5}{2}\right|\right)=-\left(4+\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{8}{2}+\frac{5}{2}\right)=-\frac{13}{2} \\ -4+\frac{5}{2}=-\left(|-4|-\left|\frac{5}{2}\right|\right)=-\left(4-\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{8}{2}-\frac{5}{2}\right)=-\frac{3}{2} \end{array}$$

Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример

Задание. Вычислить   $5-\frac{3}{2} ;-5-\left(-\frac{3}{2}\right) ;(-5)-\frac{3}{2}$

$$5-\frac{3}{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)=+\left(|5|+-\left|-\frac{3}{2}\right|\right)=+\left(5-\frac{3}{2}\right)=\frac{10}{2}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$$

$$-5-\left(-\frac{3}{2}\right)=-5+\frac{3}{2}=-\left(|-5|-\left|\frac{3}{2}\right|\right)=-\left(5-\frac{3}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}-\frac{3}{2}\right)=-\frac{7}{2}$$

$$-5-\frac{3}{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)=-\left(|-5|+\left|-\frac{3}{2}\right|\right)=-\left(5+\frac{3}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}+\frac{3}{2}\right)=-\frac{13}{2}$$

Умножение рациональных чисел. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители разных знаков.

Пример

Задание. Вычислить   $\frac{3}{4} \cdot\left(-\frac{7}{2}\right):\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(-\frac{7}{2}\right) ;\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{7}{2}$

$$\frac{3}{4} \cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=-\left|\frac{3}{4}\right| \cdot\left|-\frac{7}{2}\right|=-\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=-\frac{21}{8}$$ $$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=+\left|-\frac{3}{4}\right| \cdot\left|-\frac{7}{2}\right|=\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=\frac{21}{8}$$ $$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{7}{2}=-\left|-\frac{3}{4}\right| \cdot\left|\frac{7}{2}\right|=-\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=-\frac{21}{8}$$

Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.

Частное от деления двух рациональных чисел с разными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус.

Пример

Задание. Вычислить   (-12)$: 3 ; 12:(-3) ;(-12):(-3)$

$$(-12): 3=-|-12|:|3|=-12: 3=-4$$ $$12:(-3)=-|12|:|-3|=-12: 3=-4$$ $$(-12):(-3)=+|-12|:|-3|=12: 3=4$

Возведение в степень. Степень рационального числа представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.

Пример

Задание. Вычислить   $\left(-\frac{2}{3}\right)^{3} ;\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}$  ;  

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{27}$$

Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень - отрицательная.

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}$$ $$\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}$$

Читать следующую тему: смешанные числа (дроби).

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация