Натуральные числа

Определение

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: $1.2 . . . . . n . . .$

Из любых двух соседних натуральных чисел число, которое стоит справа, называется следующим относительно того числа, которое стоит слева. И соответственно, число, стоящее слева, называется предыдущим по отношению к числу, стоящему справа.

Пример

В записи 1, 2, 3, 5, 6 число 5 является следующим после числа 3 и предыдущим по отношению к числу 6.

Натуральные числа $1.2 . . . . . n . . .$ образуют множество, которое называется множеством натуральных чисел $N : N=\{1,2, \dots, n, \ldots\}$.

Множество натуральных чисел является упорядоченным, то есть для любых двух натуральных чисел $m$ и $n$ является верным одно из следующих соотношений: $m=n$ ($m$ равно $n$) или $m > n$ ($m$ больше $n$) или $m < n$ ($m$ меньше $n$).

Наименьшее натуральное число - 1 (единица).

На множестве $N$ вводятся две основные арифметические операции - умножение (символ × или ⋅) и сложение (+).


Сложение натуральных чисел

Каждой паре натуральных чисел $(m ; n)$ ставится в соответствие натуральное число $s$, которое называется их суммой: $s=m+n$. Это число содержит столько единиц, сколько их в числах-слагаемых $m$ и $n$.

Свойства операции сложения натуральных чисел:

  1. Коммутативность (переместительный закон): $m+n=n+m$.
  2. Ассоциативность (сочетательный закон): $(m+n)+p=m+(n+p)$.

Умножение натуральных чисел

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел $(m ; n)$ ставится натуральное число $p$, которое называется их произведением: $p=m \cdot n=m \times n$. Произведение $m \cdot n=n \cdot m$ состоит из такого количества единиц, сколько их содержится в числе $m$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $n$. Числа $m$ и $n$ называются сомножителями.

Свойства операции умножения натуральных чисел:

  1. Коммутативность (переместительный закон): $m \cdot n=n \cdot m$.
  2. Ассоциативность (сочетательный закон): $(m \cdot n) \cdot p=m \cdot(n \cdot p)$.
  3. Дистрибутивность (распределительный закон): $(m+n) \cdot k=m \cdot k+n \cdot k$.

Вычитание натуральных чисел

Данная операция является обратной к операции сложения. То есть паре натуральных чисел $(m ; n)$ ставится в соответствие натуральное число $r$, такое что $m=n+r : r=m-n$.

Число $r$ называется разностью чисел $m$ и $n$; число $m$ - уменьшаемое, а число $n$ - разность.

На множестве $N$ разность двух натуральных чисел $r=m-n$ существует тогда и только тогда, когда $m > n$.


Деление натуральных чисел

Эта операция обратная операции умножения, то есть паре чисел $(m ; n)$ ставится в соответствие натуральное число $d$ такое, что:

$$m=n \cdot d : d=\frac{m}{n}=m / n=m : n$$

Число $d$ называется частным чисел $m$ и $n$; число $m$ - делимым, а число $n$ - делителем.


Читать следующую тему: кратные числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация