Угол между векторами

Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки $O$ векторы $\overline{O A}$ и $\overline{O B}$, равные соответственно заданным векторам $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 1).

Определение

Углом между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется угол $\phi=\angle A O B=(\bar{a}, \bar{b})$.

Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.

Определение

Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Угол между двумя векторами $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$ заданными своими координатами, вычисляется по формуле:

$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{(\bar{a} ; \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$$
Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов $(\overline{a} ; \overline{b})=2$, а их длины $|\overline{a}|=2,|\overline{b}|=2$. Найти угол между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$.

Решение. Косинус искомого угла:

$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{(\bar{a} ; \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{2}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} \Rightarrow(\bar{a}, \bar{b})=60^{\circ}$$
Пример

Задание. Найти угол между векторами $\overline{a}=(1 ; 3)$ и $\overline{b}=(2 ; 1)$

Решение. Косинус искомого угла:

$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{1 \cdot 2+3 \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$(\bar{a}, \bar{b})=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ}$$

Читать дальше: разложение вектора по ортам координатных осей.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация