Содержание:

Формула

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Известно свойство степеней, что

$$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$$

тогда

$$\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{1}}=x^{-1}$$

Используя производную степенной функции:

$$\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}$$

будем иметь:

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-1 \cdot x^{-1-1}=-x^{2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Примеры вычисления производной обратной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=-\frac{3}{x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(-\frac{3}{x}\right)^{\prime}$$

Константу - 3 выносим за знак производной (согласно правилам дифференцирования):

$$y^{\prime}(x)=-3 \cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$$

Тогда, согласно формуле получаем:

$$y^{\prime}(x)=-3 \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$$

Или после упрощения

$$y^{\prime}(x)=\frac{3}{x^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{3}{x^{2}}$

Слишком сложно?

Производная обратной функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\frac{1}{x-1}$

Решение. В знаменателе заданной функции стоит функция $u(x)=x-1$, то есть

$$y(x)=\frac{1}{u(x)}$$

Поэтому необходимо найти производную сложной функции. Для этого находим производную от $\frac{1}{u(x)}$ :

$$\left(\frac{1}{u(x)}\right)^{\prime}=-\frac{1}{u^{2}(x)}$$

и умножаем на производную от функции $u(x)$ :

$$u^{\prime}(x)=(x-1)^{\prime}$$

Итак, имеем:

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{u(x)}\right)^{\prime}=-\frac{1}{u^{2}(x)} \cdot u^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot(x-1)^{\prime}$$

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных. Тогда имеем:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot\left[(x)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]$$

Производная от независимой переменной равна единице: $(x)^{\prime}=1$, а производная от единицы, как от константы, равна нулю: $(1)^{\prime}=0$

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot(1-0)=-\frac{1}{(x-1)^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}}$

Читать дальше: производная корня икс, sqrt(x)'.