Производная степенной функции

Задание. Найти производную функции $y(x)=\frac{x^{4}}{4}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{4}}{4}\right)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим константу $\frac{1}{4}$ за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{4}\left(x^{4}\right)^{\prime}$$

Далее находим производную степенной функции по формуле:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{4} \cdot 4 x^{4-1}=x^{3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=x^{3}$

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\left(x^{2}-1\right)^{4}$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=\left(\left(x^{2}-1\right)^{4}\right)^{\prime}$$

Далее находим производную по формуле, но учитываем, что основание степени есть что-то более сложное, чем $x$ (то есть ищем производную от сложной функции), то умножаем еще все на производную от основания степени:

$$y^{\prime}(x)=4 \cdot\left(x^{2}-1\right)^{4-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime}$$

В первом множителе упрощаем степень, а также находим производную, учитывая тот факт, что производная от суммы равна сумме производных:

$$y^{\prime}(x)=4\left(x^{2}-1\right)^{3} \cdot\left[\left(x^{2}\right)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]$$

Находя производные от степенной функции и от константы, получаем:

$$y^{\prime}(x)=4\left(x^{2}-1\right)^{3} \cdot(2 x-0)$$

Упрощаем полученное выражение:

$$y^{\prime}(x)=8 x\left(x^{2}-1\right)^{3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=8 x\left(x^{2}-1\right)^{3}$