Производная степенной функции

Формула

$$\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}$$

Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше.

Заметим, что в качестве степени может быть как натуральное число, то есть 1, 2, 3, ...; так и любое отрицательное число: - 1, - 2 и т.д., а также и любое дробное, например, 2,34; - 4,1 или $\frac{3}{4}$ , $-\frac{5}{6}$ .

Заметим, что если аргумент у степенной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$, то производную нужно находить по следующей формуле:

$$\left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{n-1} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной степенной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\frac{x^{4}}{4}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{4}}{4}\right)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим константу $\frac{1}{4}$ за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{4}\left(x^{4}\right)^{\prime}$$

Далее находим производную степенной функции по формуле:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{4} \cdot 4 x^{4-1}=x^{3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=x^{3}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\left(x^{2}-1\right)^{4}$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=\left(\left(x^{2}-1\right)^{4}\right)^{\prime}$$

Далее находим производную по формуле, но учитываем, что основание степени есть что-то более сложное, чем $x$ (то есть ищем производную от сложной функции), то умножаем еще все на производную от основания степени:

$$y^{\prime}(x)=4 \cdot\left(x^{2}-1\right)^{4-1} \cdot\left(x^{2}-1\right)^{\prime}$$

В первом множителе упрощаем степень, а также находим производную, учитывая тот факт, что производная от суммы равна сумме производных:

$$y^{\prime}(x)=4\left(x^{2}-1\right)^{3} \cdot\left[\left(x^{2}\right)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]$$

Находя производные от степенной функции и от константы, получаем:

$$y^{\prime}(x)=4\left(x^{2}-1\right)^{3} \cdot(2 x-0)$$

Упрощаем полученное выражение:

$$y^{\prime}(x)=8 x\left(x^{2}-1\right)^{3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=8 x\left(x^{2}-1\right)^{3}$

Читать дальше: производная обратной функции (1/x)'.

Другая информация