Содержание:

Формула

$$(c x)^{\prime}=c$$

Производная линейной функции равна константе, стоящей возле переменной $x$.

Следствие

Согласно правилам дифференцирования, константу можно выносить за знак производной, то есть

$$(c x)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}$$

По таблице производных производная независимой переменной $x$ равна единице:

$$(c x)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}=c \cdot 1=c$$

В более общем случае, когда имеем выражение $cx+b$, вместо просто $cx$, поступаем следующим образом. Как известно, согласно свойствам производной, производная от суммы равна сумме производных, поэтому

$$(c x+b)^{\prime}=(c x)^{\prime}+(b)^{\prime}$$

В первом слагаемом выносим константу за знак производной, и производная от константы равна нулю:

$$(c x+b)^{\prime}=c \cdot(x)^{\prime}+0$$

Итак, окончательно имеем, что

$$(c x+b)^{\prime}=c$$

Примеры вычисления производной линейной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\sqrt{3} x$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=(\sqrt{3} x)^{\prime}$$

Константу - число $\sqrt{3}$ - выносим за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=\sqrt{3} \cdot(x)^{\prime}$$

Согласно таблице производных, производная от независимой переменной $x$ равна 1, тогда получаем:

$$y^{\prime}(x)=\sqrt{3} \cdot 1=\sqrt{3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\sqrt{3}$

Слишком сложно?

Производная линейной функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=3x-7$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(3 x-7)^{\prime}$$

По свойству производных, производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то есть:

$$y^{\prime}(x)=(3 x)^{\prime}-(7)^{\prime}$$

В слагаемом $3x$ константу 3 вынесем за знак производной, а производная от числа (в нашем случае это производная $(7)^{\prime}$ ) равна нулю, то есть получаем, что

$$y^{\prime}(x)=3 \cdot(x)^{\prime}-0=3 \cdot(x)^{\prime}$$

Производная от $x$ равна единице, тогда

$$y^{\prime}(x)=3 \cdot(x)^{\prime}-0=3 \cdot(x)^{\prime}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=3$

Читать дальше: производная степенной функции (x^n)'.