Производная натурального логарифма

Формула

$$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

Производная от натурального логарифма равна единице, деленной на $x$ .

Натуральный логарифм, $\ln x$ - это логарифм, в основании которого находится число $e$ .

Заметим, что эту формулу можно получить из формулы производной для логарифма $log_{\alpha} x$ по произвольному основанию, учитывая тот факт, что основание натурального логарифма есть число $e$ :

$$(\ln x)^{\prime}=\left(\log _{e} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln e}=\frac{1}{x}$$

Здесь было применено свойство логарифма: $\log_{\alpha} \alpha=1$

Если под натуральным логарифмом находится сложная функция $u=u(x)$, то производная исходной функции будет равна:

$$(\ln u)^{\prime}=\frac{1}{u} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной натурального логарифма

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\frac{\ln x}{3}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{\ln x}{3}\right)^{\prime}$$

По свойствам производной константу выносим за знак производной и находим производную натурального логарифма по формуле:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{3} \cdot(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{3 x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{3 x}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\ln 3 x$

Решение. Искомая производная:

$$y^{\prime}(x)=(\ln 3 x)^{\prime}$$

Так как подлогарифмическая функция является сложной, то при нахождении берем вначале производную логарифма и умножаем ее на производную подлогарифмической функции. Таким образом, будем иметь:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{3 x} \cdot(3 x)^{\prime}$$

Константу выносим за знак производной, а производная от $x$ равна единице:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{3 x} \cdot 3 \cdot(x)^{\prime}=\frac{1}{x} \cdot 1=\frac{1}{x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$

Читать дальше: производная экспоненциальной функции (e^x)'.

Другая информация