Линейно зависимые и линейно независимые строки

Понятие линейно зависимых и линейно независимых строк необходимо для определения ранга матрицы в следующей теме.

Линейная комбинация строк

Определение

Линейной комбинацией (ЛК) строк матрицы называется выражение

ЛК называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю одновременно.

Пример

Замечание

Тривиальная ЛК равна нулевой строке.

Определение

ЛК называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Пример

Замечание

Нетривиальная ЛК тоже может быть равной нулевой строке.

Пример

Линейно зависимые и независимые строки

Определение

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевой строке.

Пример

Система строк , линейно зависима, так как ЛК этих строк равна нулевой строке.

Определение

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равна нулевой строке.

Пример

Задание. Показать, что система строк является ЛНЗ.

Решение. Составим ЛК заданных строк:

То есть ЛК данных строк равна нулевой строке, только если коэффициенты равны нулю одновременно.

Читать дальше: ранг матрицы.