Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

Замечание

С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Замечание

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы и матрицу правых частей . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что

Тогда

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что ,

Ответ. ,

Пример

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

,

где - матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу к матрице с помощью союзной матрицы:

Здесь - определитель матрицы ; матрица - союзная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :

  

  

  

  

Таким образом,

Определитель матрицы

А тогда

Отсюда искомая матрица

Ответ.

Читать дальше: метод Крамера.