Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Равные матрицы

Пример

. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и , а также соответствующие элементы: ;

Пример

Задание. Пусть задана матрица . Найти все элементы матрицы , если известно, что она равна матрице

Решение. Так как матрицы и равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е.

Ответ.

Произведение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Пример

Задание. Пусть . Найти матрицу .

Решение.

Ответ.

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Пример

Задание. Найти , если ,

Решение.

Ответ.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

  1. Ассоциативность
  2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.
  3. Коммутативность
  4. Дистрибутивность

Произведение двух матриц

Определение

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Пример

Задание. Найти , если

Решение. Так как , а , то в результате получим матрицу размера , т.е. матрицу вида . Найдем элементы данной матрицы:

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ.


Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность
  2. Ассоциативность по умножению
  3. Дистрибутивность ,
  4. Умножение на единичную матрицу
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

Транспонирование матриц

Определение

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Пример

Задание. Найти транспонированную матрицу , если

Решение.


Свойства транспонирования матриц:

Читать дальше: умножение матрицы на число.