Простые и составные числа

Определение

Натуральное число, единственными делителями которого является лишь оно само и единица, называется простым числом.

Составные числа - числа, которые имеют другие делители, кроме единицы и самого себя.

Пример

Число 5 - простое число, так как , то есть единственными делителями пятерки есть само это число 5 и единица. Число 6 составное, так как оно кратно следующим числам: 1, 2, 3, 6.

Натуральное число 1 не есть ни простым, ни составным числом.

Представление натурального числа в виде произведения двух натуральных чисел и : называется разложением на множители.

При этом считается, что если число простое, то оно раскладывается на множители, которые состоят из единственного числа .

Пример

Разложение составного числа 6 на множители имеет вид: ; разложение простого числа 5 на множители: , а не .

Пусть натуральное число составное, то есть , . При этом возможны следующие случаи:

  1. Если натуральные числа и простые, то число можно записать в виде произведения двух простых чисел и .
  2. Если хотя бы одно из натуральных чисел и составное, то это составное число (или оба этих составных числа и ) раскладывают в произведение еще меньших натуральных чисел, для которых возможны эти самые случаи. Так как множество чисел, меньших , конечно, то указанный процесс разложения закончится после конечного числа шагов. В результате получим разложение числа на множители, каждый из которых является простым числом.

Представление натурального числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители.

Основная теорема арифметики

Теорема

Каждое натуральное число, отличное от 1, можно единственным способом разложить на простые множители, причем разложения и считаются тождественными ( и - простые числа).

Объединяя в разложении числа одинаковые простые сомножители, получаем каноническое разложение числа : , где - разные простые числа, - натуральные числа.

Пример

Читать следующую тему: взаимно простые числа.