Содержание:

Определение

Степенно-показательной функцией (или показательно-степенной, или функцией в степени функция) называется функция вида $y(x)=u(x)^{v(x)}$

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

$$\left(u(x)^{v(x)}\right)^{\prime}=v(x) \cdot u(x)^{v(x)-1} \cdot u^{\prime}(x)+u(x)^{v(x)} \cdot \ln u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

Замечание

Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:

$$\left(u(x)^{v(x)}\right)^{\prime}=u(x)^{v(x)} \cdot \ln u(x) \cdot v^{\prime}(x)+v(x) \cdot u(x)^{v(x)-1} \cdot u^{\prime}(x)$$

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}$

Решение. Применяем формулу. В рассматриваемом случае

$u(x)=\operatorname{arctg} x, v(x)=x$

Тогда имеем:

$$\begin{array}{c} y^{\prime}(x)=\left((\operatorname{arctg} x)^{x}\right)^{\prime}=x \cdot(\operatorname{arctg} x)^{x-1} \cdot(\operatorname{arctg} x)^{\prime}+ \\ +(\operatorname{arctg} x)^{x} \cdot \ln \operatorname{arctg} x \cdot(x)^{\prime}=x \cdot(\operatorname{arctg} x)^{x-1} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}+ \\ \quad+(\operatorname{arctg} x)^{x} \cdot \ln \operatorname{arctg} x \cdot 1= \\ =\frac{x(\operatorname{arctg} x)^{x-1}}{1+x^{2}}+(\operatorname{arctg} x)^{x} \cdot \ln \operatorname{arctg} x= \\ =(\operatorname{arctg} x)^{x}\left(\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}+\ln \operatorname{arctg} x\right) \end{array}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left(\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}+\ln \operatorname{arctg} x\right)$

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

$$\begin{array}{c} y(x)=u(x)^{v(x)} \\ \ln y(x)=\ln u(x)^{v(x)} \\ \ln y(x)=v(x) \cdot \ln u(x) \\ (\ln y(x))^{\prime}=(v(x) \cdot \ln u(x))^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot(\ln u(x))^{\prime} \Rightarrow \\ \Rightarrow y^{\prime}(x)=y(x)\left[v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot(\ln u(x))^{\prime}\right]= \\ =u(x)^{v(x)}\left[v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot(\ln u(x))^{\prime}\right] \end{array}$$

Слишком сложно?

Производная степенно-показательной функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}$ с помощью логарифмического дифференцирования.

Решение. Прологарифмируем левую и правую часть заданной функции, будем иметь:

$$\ln y(x)=\ln (\operatorname{arctg} x)^{x}$$

По свойствам логарифмов в правой части полученного равенства степень подлогарифмической функции выносим перед логарифмом:

$$\ln y(x)=x \ln (\operatorname{arctg} x)$$

Дифференцируем левую и правую часть равенства. Слева берем производную как от сложной функции (так как $y$ - это функция от переменной $x$), а справа - как производную произведения:

$$\begin{array}{c} (\ln y(x))^{\prime}=(x \ln (\operatorname{arctg} x))^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=(x)^{\prime} \cdot \ln (\operatorname{arctg} x)+x \cdot(\ln (\operatorname{arctg} x))^{\prime}= \\ =1 \cdot \ln (\operatorname{arctg} x)+x \cdot \frac{1}{\operatorname{arctg} x} \cdot(\operatorname{arctg} x)^{\prime}= \\ =\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}=\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)} \end{array}$$

А тогда

$$\begin{array}{c} y^{\prime}(x)=y(x)\left(\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}\right)= \\ =(\operatorname{arctg} x)^{x}\left(\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}\right) \end{array}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left(\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}\right)$

3-ий способ

Представим функцию $y(x)=u(x)^{v(x)}$ в следующем виде (используются свойства логарифмов):

$$y(x)=u(x)^{v(x)}=e^{\ln u(x)^{w(x)}}=e^{v(x) \ln u(x)}$$

Тогда

$$\begin{array}{c} y^{\prime}(x)=\left(e^{v(x) \ln u(x)}\right)^{\prime}=e^{v(x) \ln u(x)} \cdot(v(x) \ln u(x))^{\prime}= \\ =e^{v(x) \ln u(x)} \cdot\left[v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot(\ln u(x))^{\prime}\right]= \\ =u(x)^{v(x)} \cdot\left[v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot(\ln u(x))^{\prime}\right] \end{array}$$

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}$

Решение. Представляем функцию в следующем виде:

$$y(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}=e^{\ln (\operatorname{arctg} x)^{x}}=e^{x \ln (\operatorname{arctg} x)}$$

Далее находим производную, от экспоненты берем производную как от сложной функции (см. производные сложных функций):

$$y^{\prime}(x)=\left(e^{x \ln \operatorname{arctg} x}\right)^{\prime}=e^{x \ln \operatorname{arctg} x} \cdot(x \cdot \ln \operatorname{arctg} x)^{\prime}=$$ $$=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left[(x)^{\prime} \cdot \ln \operatorname{arctg} x+x \cdot(\ln \operatorname{arctg} x)^{\prime}\right]=$$ $$=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left[1 \cdot \ln \operatorname{arctg} x+x \cdot \frac{1}{\operatorname{arctg} x} \cdot(\operatorname{arctg} x)^{\prime}\right]=$$ $$=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left[\ln \operatorname{arctg} x+\frac{x}{\operatorname{arctg} x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}\right]=$$ $$=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left[\ln \operatorname{arctg} x+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}\right]$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=(\operatorname{arctg} x)^{x}\left(\ln (\operatorname{arctg} x)+\frac{x}{\operatorname{arctg} x \cdot\left(1+x^{2}\right)}\right)$

Читать дальше: основные теоремы дифференциального исчисления.