на концах отрезка $[a;b]$ принимает равные
значения $f(a)=f(b)$.
Тогда на интервале $(a;b)$ найдется, по крайней
мере, одна точка $x_{0}$ , в
которой $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)
Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.
Следствие.
Если $f(a)=f(b)=0$, то теорему Ролля можно сформулировать
следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.
Теорема Лагранжа
Теорема
Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)
Пусть функция $y=f(x)$
непрерывна на отрезке $[a;b]$;
дифференцируема на интервале $(a;b)$.
Тогда на интервале $(a;b)$ найдется по крайней мере
одна точка $x_{0}$ , такая, что
На кривой $y=f(x)$ между точками
$a$ и $b$ найдется точка
$M(x_0;f(x_0))$, такая, что через эту точку можно провести касательную,
параллельную хорде $AB$ (рис. 1).
Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может
быть переписана в виде:
$$f(b)-f(a)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)(b-a)$$
Теорема Коши
Теорема
Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)
Если функции $y=f(x)$ и
$y=g(x)$:
непрерывны на отрезке $[a;b]$;
дифференцируемы на интервале $(a;b)$;
производная $g^{\prime}(x) \neq 0$ на интервале
$(a;b)$,
тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
$x_{0}$ , такая, что