Содержание:

Теорема Ферма

Теорема

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция $y=f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:

  1. она дифференцируема на интервале $(a;b)$;
  2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке $x_{0} \in(a ; b)$.

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция $y=f(x)$

  1. непрерывна на отрезке $[a;b]$;
  2. дифференцируема на интервале $(a;b)$;
  3. на концах отрезка $[a;b]$ принимает равные значения $f(a)=f(b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется, по крайней мере, одна точка $x_{0}$ , в которой $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если $f(a)=f(b)=0$, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция $y=f(x)$

  1. непрерывна на отрезке $[a;b]$;
  2. дифференцируема на интервале $(a;b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется по крайней мере одна точка $x_{0}$ , такая, что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда $f(a)=f(b)$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой $y=f(x)$ между точками $a$ и $b$ найдется точка $M(x_0;f(x_0))$, такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде $AB$ (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

$$f(b)-f(a)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)(b-a)$$

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$:

  1. непрерывны на отрезке $[a;b]$;
  2. дифференцируемы на интервале $(a;b)$;
  3. производная $g^{\prime}(x) \neq 0$ на интервале $(a;b)$,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка $x_{0}$ , такая, что

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{g^{\prime}\left(x_{0}\right.}$$

Теорема

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Теорема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

Читать дальше: формулы Маклорена и Тейлора.

Слишком сложно?

Основные теоремы дифференциального исчисления не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание