Содержание:

Для функций вида $y(x)=\frac{u_{1}(x) \cdot u_{2}(x) \cdot \ldots \cdot u_{k}(x)}{v_{1}(x) \cdot v_{2}(x) \cdot \ldots \cdot v_{m}(x)}$ для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

$$\ln y=\ln f(x)$$

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что $y$ является функцией от $x$, то есть найдем производную сложной функции:

$$(\ln y)^{\prime}=(\ln f(x))^{\prime} \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y^{\prime}=(\ln f(x))^{\prime}$$

А тогда, выражая искомую производную $y^{\prime}$, в результате имеем:

$$y^{\prime}=y \cdot(\ln f(x))^{\prime}$$

Пример

Задание. Найти производную функции $y=\frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$

Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

$$\ln y=\ln \frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$$

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

$$\begin{array}{c} \ln \frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}= \\ =\ln \left[(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}\right]-\ln \left[(x-2)^{3}(x-4)^{5}\right]= \\ =\ln (x+2)^{2}+\ln (x-4)+\ln \sqrt{x^{2}+1}-\ln (x-2)^{3}-\ln (x-4)^{5}= \\ =2 \ln (x+2)+\ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)-5 \ln (x-4)= \\ =2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2) \end{array}$$ $$\ln y=2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)$$

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что $y$ является функцией переменной $x$:

$$\begin{array}{c} (\ln y)^{\prime}=\left(2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)\right)^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}}{y}=(2 \ln (x+2))^{\prime}-(4 \ln (x-4))^{\prime}+\left(\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)^{\prime}-\right. \\ -(3 \ln (x-2))^{\prime}=2(\ln (x+2))^{\prime}-4(\ln (x-4))^{\prime}+\frac{1}{2}\left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)^{\prime}- \\ -3(\ln (x-2))^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot(x+2)^{\prime}-4 \cdot \frac{1}{x-4} \cdot(x-4)^{\prime}+ \\ +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\prime}-3 \cdot \frac{1}{x-2} \cdot(x-2)^{\prime}= \\ =\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2} \end{array}$$

Итак,

$$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}$$

Отсюда

$$y^{\prime}=y\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$$

Подставляя вместо функции $y$ ее выражение, окончательно будем иметь, что

$$y^{\prime}=\frac{(x+2)^{2} \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$$

Ответ. $y^{\prime}=\frac{(x+2)^{2} \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$

Производная показательно-степенной функции

Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении производной показательно-степенной (или степенно-показательной) функции или "функции в степени функция", то есть в случае, когда заданная функция имеет вид $y(x)=u(x)^{v(x)}$. Логарифмируем левую и правую часть:

$$\ln y(x)=\ln u(x)^{v(x)}$$ $$\ln y(x)=v(x) \cdot \ln u(x)$$

Тогда

$$(\ln y(x))^{\prime}=(v(x) \cdot \ln u(x))^{\prime}$$

Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой - как производную произведения:

$$\begin{array}{c} \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)} \Rightarrow \\ \Rightarrow y^{\prime}(x)=y(x) \cdot\left(v^{\prime}(x) \cdot \ln u(x)+v(x) \cdot \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\right) \end{array}$$

Слишком сложно?

Логарифмическое дифференцирование не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=(\sin x)^{x}$

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

$$\begin{array}{l} \ln y(x)=\ln (\sin x)^{x} \\ \ln y(x)=x \ln (\sin x) \end{array}$$

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

$$\begin{array}{c} (\ln y(x))^{\prime}=(x \ln (\sin x))^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=(x)^{\prime} \cdot \ln \sin x+x \cdot(\ln \sin x)^{\prime}= \\ =1 \cdot \ln \sin x+x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime}=\ln \sin x+\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x= \\ =\ln \sin x+x \cdot \operatorname{ctg} x \end{array}$$

Отсюда получаем, что

$$y^{\prime}(x)=y(x)(\ln \sin x+x \operatorname{ctg} x)=(\sin x)^{x} \cdot(\ln \sin x+x \operatorname{ctg} x)$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=(\sin x)^{x} \cdot(\ln \sin x+x \operatorname{ctg} x)$

Читать дальше: производная степенно-показательной функции.