Что такое рациональное число

Рациональные числа появились как форма записи чисел, более "мелких", нежели натуральных.

Определение рационального числа

Определение

Рациональное число (лат. ratio - отношение, деление, дробь) - это число которое может быть представлено в виде дроби  $\frac{m}{n}$  , где числитель$m$ - целое число, а знаменатель $n$ - натуральное. Множество рациональных чисел $Q$ обозначается (от англ. quotient "частное") и может быть записано в виде: $Q=\left\{\frac{m}{n} : m \in Z, n \in N\right\}$ . Числа вида  $\frac{m}{n}$  - называют еще обыкновенными дробями. Если $m < n$, то дробь $\frac{m}{n}$  называется правильной, если $m \geq n$, то - неправильной.

Пример

Задание. Указать какие из записанных чисел являются рациональными:

$$-49 ; 17 ; \frac{14}{3} ; \frac{3}{4} ; 3,2 ; \sqrt[3]{11} ; \sqrt{7}$$

Решение. Рациональными будут числа:  $\frac{14}{3} ; \frac{3}{4}$  а так же  $-49 ; 17 ; 3,2$  так как их можно представить в виде рациональных дробей -  $\frac{-49}{1} ; \frac{17}{1} ; \frac{32}{10}$  соответственно.

Ответ. $-49 ; 17 ; \frac{14}{3} ; \frac{3}{4} ; 3,2$

Если $m$ - нацело делится на $n$ или $n=1$, то рациональное число $\frac{m}{n}$  также будет целым числом; если при этом $m$ будет натуральным, то в таком случае дробь $\frac{m}{n}$  будет еще и натуральным числом. Поэтому для этих чисел имеет место такая цепочка вложений: $N \subset Z \subset Q$ .

Операции над рациональными числами

На множестве рациональных можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; которые вычисляются по следующим правилам.

Правило вычисления суммы двух рациональных чисел:

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m \cdot q+n \cdot p}{n \cdot q}$$

Правило вычисления разности двух рациональных чисел:

$$\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{m \cdot q-n \cdot p}{n \cdot q}$$

Правило вычисления произведения двух рациональных чисел:

$$\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}=\frac{m \cdot p}{n \cdot q}$$

Правило вычисления частного двух рациональных чисел:

$$\frac{m}{n} : \frac{p}{q}=\frac{m \cdot q}{n \cdot p}$$

Пример

Задание. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел  $\frac{5}{7}$  и $\frac{2}{3}$ 

Решение. По правилу вычисления суммы двух рациональных чисел:

$$\frac{5}{7}+\frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3+7 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{15+14}{21}=\frac{29}{21}$$

По правилу вычисления разности двух рациональных чисел:

$$\frac{5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3-7 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{15-14}{21}=\frac{1}{21}$$

По правилу вычисления произведения двух рациональных чисел:

$$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{10}{21}$$

По правилу вычисления частного двух рациональных чисел:

$$\frac{5}{7} : \frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 2}=\frac{15}{14}$$

Ответ.  

$$\frac{5}{7}+\frac{2}{3}=\frac{29}{21} ; \frac{5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{1}{21}$$

$$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{21} ; \frac{5}{7} : \frac{2}{3}=\frac{15}{14}$$

Читать дальше: что такое сумма чисел.

Другая информация