Содержание:

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 10, 1000 и т.д. надо перенести десятичную запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержит число 10, 100, 1000 и т.д.

Замечание

Если десятичных знаков дроби меньше, чем количество нулей у единицы, то на пустые места записывают нули.

Пример

Задание. Выполнить умножение: 1) $2,34 \cdot 10$ ; 2) $2,34 \cdot 100$ ; 3) $2,34 \cdot 1000$

Решение. 1) Так заданная дробь умножается на 10 (один нуль), то десятичную запятую переносим на один знак вправо:

$$2,34 \cdot 10=23,4$$

2) Число умножается на 100, поэтому десятичную запятую переносим на два знака вправо:

$$2,34 \cdot 100=234$$

3) В данном случае запятую у десятичной дроби надо перенести на три знака вправо, и так как дробь содержит только два десятичных знака, то справа дописываем один нуль:

$$2,34 \cdot 1000=2340$$

Чтобы поделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести десятичную запятую на один, два, три и т.д. знака влево соответственно.

Замечание

Если для перенесения запятой в дроби не хватает знаков, их число дополняют соответствующим количеством нулей слева.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Выполнить действия: 1) $23,4 : 10$ ; 2) $23,4 : 100$ ; 3) $23,4 : 1000$

Решение. 1) Переносим запятую на один знак влево, так как делим на 10 и это число содержит один нуль. Будем иметь:

$$23,4 : 10=2,34$$

2) В этом случае при делении на 100 переносим запятую на два знака влево:

$$23,4 : 100=0,234$$

3) Запятая переносится на три знака влево, недостающий один знаки дополняем одним нулем. Получаем:

$$23,4 : 1000=0,0234$$

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении (вычитании) десятичных дробей поступают следующим образом:

  1. При необходимости уравнивают количество знаков после запятой, добавляя справа нули к соответствующей дроби, что, согласно основному свойству десятичных дробей, не влияет на величину дроби.

    Например. Если надо, например, сложить дроби $0,123$ и $4,56$ , то справа ко второй дроби надо дописать один нуль, чтобы десятичных знаков стало три: $4,560$

  2. Записывают дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом (или, что то же самое, разряд под разрядом).

    Например. Правильная запись:

    Неправильная запись:

        или    

  3. Сложить/вычесть, не обращая внимания на запятую, как целые числа. Складываем по одной цифре, начиная с самого крайнего правого разряда и двигаясь влево к следующему
  4. Поставить запятую в сумме/разности под запятыми, складываемых/вычитаемых дробей.

Пример

Задание. Найти сумму дробей $32,45$ и $4,274$

Решение. Распишем решение пошагово. Итак, нам надо найти сумму

$$32,45+4,274$$

Действия будем производить в столбик, то есть запишем сумму следующим образом (помним, что для десятичных дробей при выполнении сложения/вычитания десятичные запятые дробей должны находиться на одной вертикальной линии):

Вначале к первой дроби справа дописываем нуль, чтобы уравнять количество десятичных знаков:

Складываем по одной цифре (знаку, разряду) справа налево. Результат сложения записываем под соответствующими слагаемыми под чертой. На первом этапе складываем 0 и 4: :

Теперь складываем 5 и 7: , в результате получилось число большее 10, а поэтому под чертой записываем только последнюю цифру полученного числа, то есть 2, а над соседним левым разрядом - 4 - ставим оставшиеся цифры, то есть 1. (Обычно при решении говорят так: "два пишем, один в уме"):

Единица над 4 означает, что после того как будет выполнено сложение следующего разряда: , к полученной сумме надо будет прибавить 1, которую мы "держим в уме".

Итак, складываем далее, к 4 прибавляем 2: и прибавляем "красную" единицу: . То есть под чертой под десятыми пишем 7:

Под десятичными запятыми слагаемых, ставим запятую суммы:

И продолжаем сложение далее по выше описанному алгоритму: :

И, снеся 3 (под ней во втором слагаемом нет соответствующей цифры), окончательно будем иметь:

Таким образом, $32,45+4,274=36,724$

Ответ. $32,45+4,274=36,724$

Пример

Задание. Вычислить $4,312-0,91$

Решение. Выполним вычитание в столбик, для этого запишем заданные десятичные дроби одна под другой так, чтобы их десятичные запятые находились на одной вертикали:

Для того, чтобы десятичных знаков было равное число, допишем ко второй дроби справа нуль:

Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры: . результат записываем под чертой:

Далее от 1 отнимаем 1:

Теперь нам нужно вычесть из тройки девять. Это сделать нельзя, так как #3 < 9# . Поэтому "займем десяток" в соседнем слева от 3 разряде - у 4. Это действие отметим стрелкой сверху. Занятый десяток прибавим к 3: $3+10=13$ . Соответственно 4 уменьшилась на 1: $4-1=3$ . Итак, далее из 13 вычтем 9: $3-9=4$ :

Далее ставим запятую:

Далее от 3 (то, что осталось от 4, после того, как мы забрали нее одну единицу) отнимем 0:

Итак, в итоге получаем, что $4,312-0,91=3,402$

Ответ. $4,312-0,91=3,402$

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить одно десятичное число на другое, необходимо перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить справа столько десятичных знаков, сколько их было вместе в обоих сомножителях.

Пример

Задание. Вычислить $2,34 \cdot 4,12$

Решение. Умножаем заданные числа, не обращая внимания на запятые:

$234 \cdot 412 = 96408$

Так как первый множитель содержит два десятичных знака и второй также, то у результата отделяем $2+2=4$ знака справа:

$2,34 \cdot 4,12 = 9,6408$

Ответ. $2,34 \cdot 4,12 = 9,6408$

Деление десятичных дробей

Для деления десятичной дроби на натуральное число придерживаются следующего алгоритма:

  1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимание на запятую.
  2. Ставим в полученном частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого. Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример

Задание. Выполнить деление $1,176:21$

Решение. Так как целая часть десятичной дроби, которая равна 1, меньше, чем делитель, который равен 21, то в частном в целой части ставим 0. Далее делим как целые числа:

Таким образом, $1,176:21 = 0,056$

Ответ. $1,176:21 = 0,056$

Для того, чтобы поделить число на десятичную дробь, необходимо делитель превратить в целое число, умножив его на 10, 100, 1000 и т.д. раз соответственно. Чтобы величина дроби не изменилась, на это же число (10, 100, 1000 и т.д.) надо умножить и делимое, после чего деление сведется к делению на целое число, алгоритм которого описан выше.

Пример

Задание. Поделить дробь $1,23$ на дробь $0,3$

Решение. Так как делитель $0,3$ не является целым числом, то его надо таковым сделать. Так как у данного числа один знак после запятой, тогда для перемещения десятичной запятой вправо на один знак его (число) надо умножить на 10: $0,3 \cdot 10=3$ . Чтобы результат не изменился, надо и делимое $0,3$ умножить на 10: $1,23 \cdot 10=12,3$

Таким образом, пришли к равносильному делению $12,3:3$ . Деление произведем в столбик:

Ответ. $1,23:0,3 = 4,1$

Читать следующую тему: периодические десятичные дроби.