Сложение дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Определение

Суммой двух дробей с одинаковыми знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель - знаменателю дробей, то есть

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти сумму дробей  $\frac{3}{11}$  и  $\frac{7}{11}$ 

Решение.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{3+7}{11}=\frac{10}{11}$

Ответ.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{10}{11}$

Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.

Пример

Задание. Найти сумму дробей  $\frac{3}{14}$  и  $\frac{11}{14}$ 

Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:

$\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}$

Полученная дробь $\frac{14}{14}$ является неправильной, у которой числитель равен знаменателю, и такая дробь равна единице, то есть

$\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}=1$

Ответ.   $\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=1$

Сложение дробей с разными знаменателями

Определение

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем.

Пример

Задание. Сложить дроби  $\frac{2}{3}$  и  $\frac{1}{8}$ 

Решение. Так как дроби с разными знаменателями, то вначале приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для этого найдем НОК чисел 3 и 8:

НОК (3, 8) = 24

Дополнительные множители к каждой из дробей соответственно:

$24 : 3=8,24 : 8=3$

то есть

$\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{2^{8}}{3}+\frac{1^{3}}{8}=\frac{2 \cdot 8+1 \cdot 3}{24}=\frac{16+3}{24}=\frac{19}{24}$

Ответ.   $\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{19}{24}$

Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.

Сложение смешанных дробей

Определение

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно найти сумму целых частей и отдельно сумму дробных частей.

Пример

Задание. Вычислить сумму дробей  3$\frac{2}{5}$  и  4$\frac{7}{10}$ 

Решение. В данном случае складываем отдельно целые и дробные части:

$3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=(3+4)+\left(\frac{2}{5}+\frac{7}{10}\right)$

Так как знаменатели дробных частей разные, то приводим дроби к общему знаменателю, который равен 10, так как НОК знаменателей 5 и 10. Соответственно дополнительные множители, как частные общего знаменателя и знаменателей дробей, равны 2 и 1:

$3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=7+\frac{2^{2}}{5}+\frac{7^{1}}{10}=7+\frac{2 \cdot 2+7 \cdot 1}{10}=7+\frac{11}{10}=7 \frac{11}{10}$

Так как дробная часть представляет собой неправильную дробь, то выделяем целую часть:

$3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=7 \frac{11}{10}=7\left(1+\frac{1}{10}\right)=8 \frac{1}{10}$

Ответ.   $3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=8 \frac{1}{10}$

Читать следующую тему: вычитание дробей.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация