Интеграл от тангенса

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int 2 \operatorname{tg} x d x$

Решение. Согласно свойствам интеграла, константу можно выносить за знак интеграла, тогда

$$\int 2 \operatorname{tg} x d x=2 \int \operatorname{tg} x d x=2(-\ln |\cos x|)+C=-2 \ln |\cos x|+C$$

Ответ. $\int 2 \operatorname{tg} x d x=-2 \ln |\cos x|+C$

Задание. Найти интеграл $\int(x-\operatorname{tg} x) d x$

Решение. Интеграл от разности равен разности интегралов, тогда

$$\int(x-\operatorname{tg} x) d x=\int x d x-\int \operatorname{tg} x d x$$

Первый интеграл берем как интеграл от степенной функции, а второй как от тангенса. В итоге будем иметь:

$$\int(x-\operatorname{tg} x) d x=\frac{x^{1+1}}{1+1}-(-\ln |\cos x|)+C=$$ $$=\frac{x^{2}}{2}+\ln |\cos x|+C$$

Ответ. $\int(x-\operatorname{tg} x) d x=\frac{x^{2}}{2}+\ln |\cos x|+C$