Интеграл от степенной функции

Формула

$$\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1$$

Интеграл от степенной функции равен этой же функции в степени на единицу больше, деленной на эту же степень, плюс постоянная интегрирования.

Заметим, что если $x$ в некоторой степени находится в знаменателе, то применяют свойство $\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$ и далее интегрируют по указанной формуле.

Примеры вычисления интеграла степенной функции

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int x^2dx$

Решение. Согласно формуле имеем:

$$\int x^{2} d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^{3}}{3}+C$$

Ответ.$\int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{x^{2}}$

Решение. Перепишем подынтегральную функцию как степень с отрицательным показателем:

$$\int \frac{d x}{x^{2}}=\int x^{-2} d x$$

Далее, согласно формуле, получим, что

$$\int \frac{d x}{x^{2}}=\int x^{-2} d x=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C$$

Применив теперь формулу $x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$, окончательно будем иметь:

$$\int \frac{d x}{x^{2}}=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x^{1}}+C=-\frac{1}{x}+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{x^{2}}=-\frac{1}{x}+C$

Читать дальше: интеграл корня.

Другая информация