Содержание:

Формула

$$\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C$$

Интеграл от единицы, деленной на переменную интегрирования, равен натуральному логарифму от модуля этой переменной плюс константа интегрирования.

Заметим, что если в знаменателе стоит не просто $x$, а выражение $ax+b$, то тогда неопределенный интеграл

$$\int \frac{d x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C$$

Примеры вычисления интеграла обратной функции

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{3 x}$

Решение. Согласно свойствам неопределенного интеграла, константу можно выносить за знак интеграла. Поэтому выносим $\frac{1}{3}$ :

$$\int \frac{d x}{3 x}=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x}=\frac{1}{3} \ln |x|+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{3 x}=\frac{1}{3} \ln |x|+C$

Слишком сложно?

Интеграл от обратной функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{x-1}$

Решение. В данном случае знаменатель подынтегральной функции отличен от просто $x$, поэтому для нахождения заданного интеграла будем применять вторую из представленных выше формул. В данном случае $\alpha=1$, а тогда будем иметь, что

$$\int \frac{d x}{x-1}=\frac{1}{1} \cdot \ln |x-1|+C=\ln |x-1|+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{x-1}=\ln |x-1|+C$

Читать дальше: интеграл показательной функции.