Содержание:

Формула

$$\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C$$

Интеграл от единицы, деленной на переменную интегрирования, равен натуральному логарифму от модуля этой переменной плюс константа интегрирования.

Заметим, что если в знаменателе стоит не просто $x$, а выражение $ax+b$, то тогда неопределенный интеграл

$$\int \frac{d x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C$$

Примеры вычисления интеграла обратной функции

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{3 x}$

Решение. Согласно свойствам неопределенного интеграла, константу можно выносить за знак интеграла. Поэтому выносим $\frac{1}{3}$ :

$$\int \frac{d x}{3 x}=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x}=\frac{1}{3} \ln |x|+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{3 x}=\frac{1}{3} \ln |x|+C$


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{x-1}$

Решение. В данном случае знаменатель подынтегральной функции отличен от просто $x$, поэтому для нахождения заданного интеграла будем применять вторую из представленных выше формул. В данном случае $\alpha=1$, а тогда будем иметь, что

$$\int \frac{d x}{x-1}=\frac{1}{1} \cdot \ln |x-1|+C=\ln |x-1|+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{x-1}=\ln |x-1|+C$

Читать дальше: интеграл показательной функции.