Интеграл от показательной функции

Формула

$$\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$$

Интеграл от показательной функции равен этой же показательной функции деленной на натуральный логарифм от основания степени плюс константа интегрирования.

Примеры вычисления интеграла показательной функции

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int 3^{x} d x$

Решение. Согласно формуле имеем (при $a=3$):

$$\int 3^{x} d x=\frac{3^{x}}{\ln 3}+C$$

Ответ. $\int 3^{x} d x=\frac{3^{x}}{\ln 3}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int 4 \cdot 5^{x} d x$

Решение. Константу выносим за знак интеграла:

$$\int 4 \cdot 5^{x} d x=4 \int 5^{x} d x$$

Тогда, согласно формуле, при $a=5$ имеем:

$$\int 4 \cdot 5^{x} d x=4 \int 5^{x} d x=4 \cdot \frac{5^{x}}{\ln 5}+C=\frac{4 \cdot 5^{x}}{\ln 5}+C$$

Ответ. $\int 4 \cdot 5^{x} d x=\frac{4 \cdot 5^{x}}{\ln 5}+C$

Читать дальше: интеграл экспоненциальной функции.

Другая информация