Интеграл от корня

Формула

$$\int \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C$$

Интеграл от единицы, деленной на корень, равен двум таким же корням плюс константа интегрирования.

$$\int \sqrt{x} d x=\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+C$$

Заметим, что данные формулы сводятся к интегралу от степенной функции при помощи следующих свойств:

$\sqrt[m]{x^{n}}=x^{\frac{n}{m}}$ и $\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}

Примеры вычисления интеграла корня

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}$

Решение. Согласно свойствам неопределенного интеграла, константу можно выносить за знак интеграла, то есть получим:

$$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x}}$$

А тогда, согласно формуле, будем иметь:

$$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{x}+C=\sqrt{x}+C$$

Ответ. $\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}=\sqrt{x}+C$

Пример

Задание.$\int 2 \sqrt{x} d x$

Решение. Константу выносим за знак интеграла:

$$\int 2 \sqrt{x} d x=2 \int \sqrt{x} d x$$

Далее интеграл находи по формуле:

$$\int 2 \sqrt{x} d x=2 \int \sqrt{x} d x=2 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}+C=\frac{4 \sqrt{x^{3}}}{3}+C$$

Ответ. $\int 2 \sqrt{x} d x=\frac{4 \sqrt{x^{3}}}{3}+C$

Читать дальше: интеграл обратной функции.

Другая информация