Производная тангенса

Формула

$(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}$

Производная от тангенса равна единице, деленной на косинус в квадрате.

Если под тангенсом находится сложная функция $u=u(x)$, то производная исходной функции будет равна:

$$(\operatorname{tg} u)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} u} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной тангенса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \operatorname{tg} x$

Решение. Запишем искомую производную:

$$y^{\prime}(x)=(2 \operatorname{tg} x)^{\prime}$$

Согласно правилам дифференцирования, константу можно выносить за знак производной, тогда получим:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\operatorname{tg} x)^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}=\frac{2}{\cos ^{2} x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{2}{\cos ^{2} x}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\operatorname{tg} x-13$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(\operatorname{tg} x-13)^{\prime}$$

Производная разности функций равна разности производных от каждой из функций:

$$y^{\prime}(x)=(\operatorname{tg} x)^{\prime}-(13)^{\prime}$$

Производную тангенса берем по формуле, а производная константы равна нулю. То есть получаем, что

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos ^{2} x}-0=\frac{1}{\cos ^{2} x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos ^{2} x}$

Читать дальше: производная котангенса (ctgx)'.

Другая информация