Нахождение решения интеграла. Программа для решения интегралов


Программа использует методы:

Пример: x^4*cos(x^2+x+1) соответствует Math.pow(x,4)*Math.cos(Math.pow(x,2)+x+1)
При вводе функции используйте следующие обозначения:
 
+ - сложение;Math.log(x) - натуральный логарифм;
- - вычитание;Math.cos(x) - косинус;
* - умножение;Math.sin(x) - синус;
/ - деление;Math.exp(x) - экспонента;
Math.sqrt(x) - квадратный корень;Math.pow(x,n) - возведение x в степень n;

Функция:

Нижняя граница интегрирования: 

Верхняя граница интегрирования: 

Методы:
Прямоугольников
Средних
Трапеций
Симпсона
3/8
Решение:
По шагам
По точности
Число шагов:
Точность:

Приближенное вычисление определенного интеграла

Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для решения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется "близкой" к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.


Формула прямоугольников

Если известны значения подинтегральной функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции "близкой" к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей Δx = (b - a)/n. При этом:
y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).
Составим суммы:
y0 x + y1 x + … + yn-1 x
y1 x + y2 x + … + yn x

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая - описанной.

любая из этих формул может применяться для приближенного решения определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.


Формула средних

Пусть для функции f(x) требуется решить интеграл

Для этого разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей и выбирается шаг интегрирования

В середине каждого отрезка проводиться прямая, параллельная оси абсцисс. По всему отрезку интегрирования суммируются площади получившихся прямоугольников. Таким образом получается формула средних для решения интеграла.


Формула трапеций

Формула трапеций, для решения интегралов, является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подинтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.

Геометрически площадь криволинейной трапеции, решение интеграла, заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью можно решить интеграл. Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:


Формула Симпсона

Для решения интеграла, разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2). Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
y0 = Ax02 + Bx0 + C
y1 = Ax12 + Bx1 + C
y2 = Ax22 + Bx2 + C
Обозначим 2h = x2 - x0

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то
Тогда ранее записанные уравнения принимаю вид:
y0 = Ah2 - Bh + C
y1 = C
y2 = Ah2 + Bh + C
Тогда: y0 + 4y1 + y2 = 2Аh2 + 6С

Складывая эти выражения и получаем решение интеграла по формуле Симпсона:



См. также программы:

 

Добавить комментарий

Нравится
Нравится