Теорема Виета

Теорема Виета для квадратного трехчлена

Теорема

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .

В случае неприведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид:

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных    и    . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Пример

Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения

Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что

Подбираем значения и , которые удовлетворяют этим равенствам. Легко видеть, что им удовлетворяют значения

  и  

Ответ. Корни уравнения ,

Обратная теорема Виета

Теорема

Если числа и удовлетворяют соотношениям , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.

Пример

Задание. Зная, что числа и - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.

Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:

Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:

Тогда

То есть искомое уравнение

Ответ.

Общая формулировка теоремы Виета

Теорема

Если - корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря, произведение равно сумме всех возможных произведений из корней.

Формулы Виета - формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603).

Если старший коэффициент многочлена , то есть многочлен не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.