Теорема Безу

Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Следствия из теоремы Безу

  1. Число - корень многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен .

    Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения .

  2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3. Пусть - целый корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если , то заданный многочлен можно представить в виде:

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена , степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена на двучлен

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке . Найдем тогда , для этого значение подставим в выражение для многочлена вместо . Будем иметь:

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен делится на двучлен без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: . Найдем значение многочлена в точке :

Что и требовалось доказать