Теорема синусов

Формулировка теоремы синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема синусов устанавливает зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами.

Расширенная теорема синусов

Теорема

Для произвольного треугольника имеет место соотношение:

Здесь - радиус окружности, описанной около рассматриваемого треугольника.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в .

Решение. Пусть искомая сторона - см. Тогда по теореме синусов имеем:

  (см)

Ответ.    (см)

Пример

Задание. В треугольнике   , , . Найти .

Решение. Согласно теореме о сумме углов треугольника

Сторону найдем по теореме синусов:

Ответ.

Историческая справка

Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге "Трактат о полном четырёхстороннике" персидского математика, механика и астронома Насира ад-Дина Ат-Туси (1201 - 1274), которая была написана в 13 веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в 10 веке. В труде западноарабского математика, астронома и законоведа Ал-Джайяни (989 - 1050) 11 века "Книга о неизвестных дугах сферы" приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.