Квадрат суммы

Определение

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

1

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен $a+b$ на себя: $(a+b)(a+b)=a^{2}+a b+b a+a^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$.

Пример

Задание. Раскрыть скобки $\left(10 y^{2}+3 x\right)^{2}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение $10 y^{2}+3 x$ на себя; второй - используем формулу сокращенного умножения "квадрат суммы".

1. По определению:

$\left(10 y^{2}+3 x\right)^{2}=\left(10 y^{2}+3 x\right)\left(10 y^{2}+3 x\right)=10 y^{2} \cdot 10 y^{2}+10 y^{2} \cdot 3 x+3 x \cdot 10 y^{2}+3 x \cdot 3 x=$

$=100 y^{4}+30 x y^{2}+30 x y^{2}+9 x^{2}=100 y^{4}+60 x y^{2}+9 x^{2}$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$\left(10 y^{2}+3 x\right)^{2}=\left(10 y^{2}\right)^{2}+2 \cdot 10 y^{2} \cdot 3 x+(3 x)^{2}=100 y^{4}+60 x y^{2}+9 x^{2}$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.

Применение данной формулы также позволяет производить некоторые вычисления в уме, например, возводить в квадрат большие числа:

$81^{2}=(80+1)^{2}=80^{2}+2 \cdot 80 \cdot 1+1^{2}=6400+160+1=6561$

$82^{2}=(80+2)^{2}=80^{2}+2 \cdot 80 \cdot 2+2^{2}=6400+320+4=6724$


Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы двух положительных чисел $a$ и $b$ можно изобразить геометрически (рисунок).

Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$, его площадь равна $(a+b)^{2}$. В двух углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами $a$ и $b$. Площади полученных квадратов равны соответственно $a^{2}$ и $b^{2}$.

Большой начальный квадрат, разделен на четыре части: два квадрата (площади указаны выше) и два прямоугольника, каждый площадью $a b$. Тогда получаем, что

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+a b+a b=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Квадрат нескольких слагаемых задается формулой:

$\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}+2 a_{1} a_{2}+\ldots+2 a_{n-1} a_{n}$

В частности для трех слагаемых имеем:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$


Читать следующую тему: формула "квадрат разности".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация