Определение

Рациональная дробь $\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{m} x^{m}}{b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}}$ называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. $m < n$. Если же $m \geq n$, то дробь называется неправильной.

Пример

Рациональная дробь   $\frac{x+1}{x^{2}-2}$   является правильной.

Выражения   $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-2}$   и   $\frac{x^{3}-3 x+1}{x^{2}-2}$   - неправильные рациональные дроби.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно получить многочлен плюс правильную дробь.

Примеры интегрирования правильных рациональных дробей


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Представить неправильную дробь  $\frac{x^{2}+x-7}{x+1}$  в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Поделим числитель на знаменатель дроби в столбик (деление проводится до тех пор, пока степень остатка не будет меньше степени делителя):

Таким образом,

$$\frac{x^{2}+x-7}{x+1}=x+\frac{-7}{x+1}=x-\frac{7}{x+1}$$

Ответ.  $\frac{x^{2}+x-7}{x+1}=x-\frac{7}{x+1}$ 

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x$

Решение. Так как подынтегральная функция  $\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}$  является неправильной рациональной дробью (так как степень числителя больше степени знаменателя), то выделим целую часть, для этого числитель поделим на знаменатель в столбик:

То есть,

$$\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}$$

Тогда интеграл

$$\begin{array}{c} \int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x=\int\left(x-1+\frac{1}{x-1}\right) d x= \\ =\int x d x-\int d x+\int \frac{d x}{x-1}=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln |x-1|+C \end{array}$$

Ответ.  $\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} d x==\frac{x^{2}}{2}-x+\ln |x-1|+C$ 

Читать дальше: универсальная тригонометрическая подстановка.