Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

$\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\ldots+\frac{A_{n}}{\left(x-x_{1}\right)^{n}}+\frac{B_{1}}{x-x_{2}}+\ldots+\frac{B_{m}}{\left(x-x_{2}\right)^{m}}+$

$+\frac{C_{1} x+D_{1}}{x^{2}+p_{1} x+q_{1}}+\ldots+\frac{F_{k} x+G_{k}}{\left(x^{2}+p_{1} x+q_{1}\right)^{k}}+\ldots$

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

  1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - $Q_{n}(x)$, в числителе левой части получим некоторый многочлен $R_{m}(x)$ с неизвестными коэффициентами;

  2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

    $P_{m}(x)=R_{m}(x)$

  3. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}$ на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения $x_{1}=2$, $x_{2}=3$, то его можно разложить на множители следующим образом:

$x^{2}-5 x+6=(x-2)(x-3)$

А тогда

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}$

Искомое разложение имеет вид:

$\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

$\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \Rightarrow$

$\Rightarrow x+3=(A+B) x-3 A-2 B$

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

$\int_{0}^{a} \sqrt{x} d x$

Отсюда, искомое разложение:

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Ответ.  $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно $x$ тождестве аргументу $x$ придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

Пример

Задание. Представить в виде суммы элементарных дробей дробь $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}$

Решение. Как уже было показано, относительно переменной $x$ получено следующее равенство:

$x+3=A(x-3)+B(x-2)$

В случае, когда $x=3$, имеем:

$6=B$

Аналогично, для $x=2$:

$5=-A \Rightarrow A=-5$

Таким образом,

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Ответ. $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Читать дальше: интегрирование правильных рациональных дробей.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация