Содержание:

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

$\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\ldots+\frac{A_{n}}{\left(x-x_{1}\right)^{n}}+\frac{B_{1}}{x-x_{2}}+\ldots+\frac{B_{m}}{\left(x-x_{2}\right)^{m}}+$

$+\frac{C_{1} x+D_{1}}{x^{2}+p_{1} x+q_{1}}+\ldots+\frac{F_{k} x+G_{k}}{\left(x^{2}+p_{1} x+q_{1}\right)^{k}}+\ldots$

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

  1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - $Q_{n}(x)$, в числителе левой части получим некоторый многочлен $R_{m}(x)$ с неизвестными коэффициентами;

  2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

    $P_{m}(x)=R_{m}(x)$

  3. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}$ на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения $x_{1}=2$, $x_{2}=3$, то его можно разложить на множители следующим образом:

$x^{2}-5 x+6=(x-2)(x-3)$

А тогда

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}$

Искомое разложение имеет вид:

$\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

$\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \Rightarrow$

$\Rightarrow x+3=(A+B) x-3 A-2 B$

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

$\int_{0}^{a} \sqrt{x} d x$

Отсюда, искомое разложение:

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Ответ.  $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно $x$ тождестве аргументу $x$ придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

Слишком сложно?

Метод неопределенных коэффициентов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Представить в виде суммы элементарных дробей дробь $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}$

Решение. Как уже было показано, относительно переменной $x$ получено следующее равенство:

$x+3=A(x-3)+B(x-2)$

В случае, когда $x=3$, имеем:

$6=B$

Аналогично, для $x=2$:

$5=-A \Rightarrow A=-5$

Таким образом,

$\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Ответ. $\frac{x+3}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x-3}$

Читать дальше: интегрирование правильных рациональных дробей.