Приращение $\delta y$ функции $y=f(x)$ представимо в виде:

$$\Delta y=f^{\prime}(x) \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$$

где функция $\alpha(\Delta x)$ является б.м. функцией при стремлении аргумента $\Delta x$ к нулю. Так как $\Delta x=dx$, то

$$\Delta y=f^{\prime}(x) d x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x=d y+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$$

В силу того, что второе слагаемое $\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$ является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

$$\Delta y \approx d y$$

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

$$f\left(x_{0}+\Delta x\right) \approx f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot \Delta x$$

Пример

Задание. Вычислить приближенно $\text { arctg } 1,02$ , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию $y=\operatorname{arctg} x$. Необходимо вычислить ее значение в точке $x=1,02$ . Представим данное значение в виде следующей суммы:

$x=x_0+\Delta x$

Величины $x_0$ и $\delta x$ выбираются так, чтобы в точке $x_0$ можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а $\delta x$ было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что $x=1,02=1+0,02$ , то есть $x_0=1$, $\Delta x=0,02$.

Вычислим значение функции $y=\operatorname{arctg} x$ в точке $x_0=1$:

$$y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}$$

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение $y^{\prime}\left(x_{0}\right)$:

$$y^{\prime}=(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$$

Тогда

$$y^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$$

Итак,

$$\begin{aligned} y(1,02) &=\operatorname{arctg} 1,02=y(1+0,02) \approx y(1)+y^{\prime}(1) \cdot \Delta x=\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cdot 0,02 \approx 0,7852+0,01=0,7952 \end{aligned}$$

Ответ. $\operatorname{arctg} 1,02 \approx 0,7952$

Читать дальше: геометрический и механический смысл производной.

Слишком сложно?

Применение дифференциала в приближенных вычислениях не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание