Содержание:

Не всякая функция может иметь предел. Зачастую практические задачи сводятся не к вопросу нахождения конкретного значения предела, а к вопросу: существует ли предел рассматриваемой функции. Для ответа на этот вопрос используют признаки существования предела.

Предел промежуточной функции

Теорема

(О пределе промежуточной функции).

Если имеет место соотношение $f(x) \leq \phi(x) \leq g(x)$ и $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$, $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=b$, то и $\lim _{x \rightarrow a} \phi(x)=b$

Пример

Задание. Найти предел функции $\phi(x)$ в точке $x=1$, если известно, что имеет место соотношение: $f(x) \leq \phi(x) \leq g(x)$ и $f(x)=-(x-1)^{2}, g(x)=0$

Решение. Найдем пределы заданных функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x \rightarrow 1$:

$$\begin{array}{c} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left[-(x-1)^{2}\right]=0 \\ \lim _{x \rightarrow 1} g(x)=\lim _{x \rightarrow 1} 0=0 \end{array}$$

А тогда по теореме о предел промежуточной функции

$$\lim _{x \rightarrow 1} \phi(x)=0$$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 1} \phi(x)=0$

Предел монотонной функции

Теорема

(О пределе монотонной функции).

Если функция $f(x)$ является монотонной и ограниченной в области $x<a$ или $x>a$, то соответственно существует ее \lt a href="formules_7_10.php" title="Левый и правый пределы функции">левый предел \lt /a> $f(a+0)$ или ее \lt a href="formules_7_10.php" title="Левый и правый пределы функции">правый предел \lt /a> $f(a-0)$.

Читать дальше: первый замечательный предел.

Слишком сложно?

Признаки существования пределов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание