Содержание:

Определение

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой при $x \rightarrow a$ (или в точке $x=a$ ), если $\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0$

Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.

Пример

Функция $\alpha(x) =x^2-1$ является б.м. при $x \rightarrow 1$, так как

Бесконечно малые функции одного порядка

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - две б.м. функции при $x \rightarrow a$.

Определение

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow a$, если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c \neq 0$

Слишком сложно?

Сравнение бесконечно малых функций не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Рассмотрим функции $\alpha(x)=x^{2}-1$ и $\beta(x)=x-1$, которые являются б.м. при $x \rightarrow 1$:

$$\lim _{x \rightarrow 1} \alpha(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-1\right)=1^{2}-1=0$$ $$\lim _{x \rightarrow 1} \beta(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-1)=1-1=0$$

Найдем предел отношения этих функций при $x \rightarrow 1$:

$$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=$$ $$=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=1+1=2$$

Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ являются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow 1$.

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков

Определение

Если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$, то $\alpha(x)$ является б.м. более высокого порядка при $x \rightarrow a$, чем $\beta(x)$, а $\beta(x)$ - б.м. более низкого порядка по сравнению с $\alpha(x)$: $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x \rightarrow a$.

Пример

Функция $\alpha(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}$ , $\left(\lim _{x \rightarrow 1} \alpha(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-1\right)^{2}=0\right)$ является б.м. более высокого порядка, чем функция $\beta(x)=x-1$, $\left(\lim _{x \rightarrow 1} \beta(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-1)=0\right)$ в точке $x=0$, так как

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}{x-1}=\\ &=\lim _{x \rightarrow 1}(x-1)(x+1)^{2}=0 \cdot 2=0 \end{aligned}$$

Определение

Если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$, то $\alpha(x)$ - б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow a$ по сравнению с $\beta(x)$.

Пример

Рассмотрим функцию $\alpha(x)=x+1$, которая является б.м. в точке $x=-1$: $\lim _{x \rightarrow-1} \alpha(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(x+1)=-1+1=0$, и б.м. в этой же точке функцию $\beta(x)=(x+1)^2$: $\lim _{x \rightarrow-1} \beta(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(x+1)^{2}=(-1+1)^{2}=0$. Найдем предел частного этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x+1}{(x+1)^{2}}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{1}{x+1}=\frac{1}{0}=\infty$$

А поэтому, функция $\alpha(x)$ является б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow -1$, чем функция $\beta(x)$.

Определение

Если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^{k}}=C$, $0 < |C| \lt \infty$, то $\alpha(x)$ называется б.м. порядка $k$ по сравнению с $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Пример

Функция $\alpha(x)=x+1$ называется б.м. порядка 2 по сравнению с функцией $\beta(x)=\sqrt{x+1}$ в точке $x=-1$, так как

$$\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^{k}}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x+1}{(\sqrt{x+1})^{2}}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x+1}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1} 1=1$$

$1 \neq 0$, что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Определение

Если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$, то б.м. функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при $x \rightarrow a$: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Пример

Функции $\alpha(x)=x^4-3x+2$ и $\beta(x)=x^5-4x+3$ являются эквивалентными б.м. в точке $x=1$, так как, во-первых:

$$\lim _{x \rightarrow 1} \alpha(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{4}-3 x+2\right)=0$$ $$\lim _{x \rightarrow 1} \beta(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{5}-4 x+3\right)=0$$

а во-вторых:

$$\begin{array}{r} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-3 x+2}{x^{5}-4 x+3}= \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\left(x^{3}+x^{2}+x-2\right)}{(x-1)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-3\right)}=\frac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3}=1 \end{array}$$

Читать дальше: эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных б.м. функций.