Что такое внешний угол треугольника

Определение внешнего угла треугольника

Определение

Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними.

Например, для $\angle A$, внешними будут углы $\angle 1$ и $\angle 2$ (см. рис.)

Свойства внешних углов треугольника

  1. Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$.
  2. Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна $180^{\circ}$.
  3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

    $$\angle 1=\angle B+\angle C$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $\Delta M N K$, внешний угол $\angle M$ равен $120^{\circ}$, а угол $\angle N=65^{\circ}$. Найти угол $\angle K$.

Решение. По теореме о внешнем угле $\angle M=\angle N+\angle K$. Подставляя в это равенство исходные данные, получим

$$120^{\circ}=65^{\circ}+\angle K$$

Выразим $\angle K : \angle K=120^{\circ}-65^{\circ} \Rightarrow \angle K=55^{\circ}$

Ответ. $\angle K=55^{\circ}$

Пример

Задание. Внешние углы при двух вершинах треугольник равны $70^{\circ}$ и $150^{\circ}$. Найти внутренний угол при третьей вершине.

Решение. Обозначим внешние углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3$, а соответствующие им внутренние - $\alpha, \beta, \gamma$.

По условию $\angle 1=150^{\circ}$ и $\angle 2=70^{\circ}$. По свойству внешних углов, их сумма, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$. То есть

$$\angle 1+\angle 2+\angle 3=360^{\circ}$$

Выразим из этого равенства неизвестный угол $\angle 3$

$$\angle 3=360^{\circ}-\angle 1-\angle 2$$

$$\angle 3=360^{\circ}-150^{\circ}-70^{\circ}$$

$$\angle 3=140^{\circ}$$

Тогда искомый внутренний угол можно найти из условия, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^{\circ}$, то есть $\gamma+\angle 3=180^{\circ}$, тогда:

$$\gamma=180^{\circ}-\angle 3$$

$$\gamma=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$$

Ответ. $\gamma=40^{\circ}$

Читать дальше: что такое медиана треугольника.

Другая информация