Содержание:

Формулировка теоремы Больцано-Вейерштрасса

Теорема

Теорема Больцано-Вейерштрасса (или лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке).

Из всякой ограниченной последовательности точек пространства $R^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку $x$. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке $x$ .

Замечание 1

Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Доказательство. Действительно, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2

Пусть $\left\{x_{n}\right\}$ - ограниченная последовательность, элементы которой принадлежат промежутку $[a;b]$ . Тогда предел $c$ любой сходящейся подпоследовательности $\left\{x_{k_{n}}\right\}$ этой последовательности также находится на сегменте $[a;b]$ .

Доказательство. Действительно, так как для любого номера $k_n$ имеет место соотношение $a \le x_{k_{n}} \ge b$, то в силу утверждения, что если все элементы сходящейся последовательности $\{x_n\}$ находятся на сегменте $[a;b]$, то и ее предел $c$ также находится на этом сегменте, выполняются неравенства $a \le c \ge b$. То есть $c \in[a ; b]$ .

Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность $\left\{1 ; \frac{1}{2} ; 2 ; \frac{1}{3} ; \ldots ; n ; \frac{1}{n+1} ; \ldots\right\}$ - неограниченная, однако подпоследовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}=\left\{\frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \ldots ; \frac{1}{n} ; \ldots\right\}$ ее элементов с четными номерами сходится.

Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\{n\}=\{1 ; 2 ; \ldots ; n ; \ldots\}$ расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.

Историческая справка

Теорема Больцано-Вейерштрасса (для случая $n = 1$ ) впервые была доказана чешским математиком, философом и теологом Бернардом Больцано (1781 - 1848) в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, известной теперь как теорема Больцано-Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса, остались незамеченными. Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально она называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Эта теорема используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней.

Слишком сложно?

Теорема Больцано-Вейерштрасса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание