Если функции
$f(x)$ и
$g(x)$ интегрируемы по Риману на некотором сегменте
$[a;b]$ и функция
$g(x)$ является знакопостоянной (то есть
$g(x) \ge 0$ или
$g(x) \le 0$ ) на указанном сегменте, тогда
$$m \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \leq M \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$$
Следствие 2. Если функция
$f(x)$ - непрерывна и интегрируема на сегменте
$[a;b]$, а функция
$g(x)$ - интегрируема и знакопостоянна на этом сегменте, тогда существует
такое значение $c \in [a;b]$, что
Следствие 1. Если функция
$f(x)$ интегрируема на отрезке
$[a;b]$, а функция
$g(x)$ является монотонно убывающей на этом отрезке и
$g(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b]$, тогда существует такая точка
$c \in [a;b]$, что
Следствие 2. Если функция
$f(x)$ интегрируема на отрезке
$[a;b]$, функция
$g(x)$ является монотонно возрастающей на рассматриваемом отрезке и
$g(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b]$, тогда существует такая точка
$c \in [a;b]$, что