Содержание:

Формулировка первой теоремы о среднем

Теорема

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы по Риману на некотором сегменте $[a;b]$ и функция $g(x)$ является знакопостоянной (то есть $g(x) \ge 0$ или $g(x) \le 0$ ) на указанном сегменте, тогда

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=c \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$$

Здесь величина $c$ удовлетворяет неравенству

$$m=\inf f(x) \leq c \leq M=\sup _{[a ; b]} f(x)$ $[a ; b]$$

Следствие 1. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a;b]$ и $g(x) \ge 0$ для любого $x \in[a ; b]$:

$m=\inf _{[a ; b]} f(x)$ $[a ; b]$      $\begin{aligned} M=& \sup _{[a ; b]} f(x) \end{aligned}$

тогда имеет место оценка:

$$m \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \leq M \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$$

Следствие 2. Если функция $f(x)$ - непрерывна и интегрируема на сегменте $[a;b]$, а функция $g(x)$ - интегрируема и знакопостоянна на этом сегменте, тогда существует такое значение $c \in [a;b]$, что

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(c) \cdot \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$$

Следствие 3. Если функция $f(x)$ является интегрируемой на отрезке $[a;b]$, а функция $g(x) = 1$, то

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=c(b-a), m \leq c \leq M$$

Следствие 4. Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, а функция $g(x) = 1$, то

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(c) \cdot(b-a), c \in[a ; b]$$

Формулировка второй теоремы о среднем

Теорема

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, а функция $g(x)$ монотонна на этом отрезке, то существует такая точка $c \in [a;b]$, что

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \cdot \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \cdot \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$$

Следствие 1. Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, а функция $g(x)$ является монотонно убывающей на этом отрезке и $g(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b]$, тогда существует такая точка $c \in [a;b]$, что

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a+0) \cdot \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x$$

Следствие 2. Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, функция $g(x)$ является монотонно возрастающей на рассматриваемом отрезке и $g(x) \geq 0 \quad \forall x \in[a ; b]$, тогда существует такая точка $c \in [a;b]$, что

$$\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(b-0) \cdot \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$$

Слишком сложно?

Теорема о среднем не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание