Что такое целое число

Определение целого числа

Определение

Целыми числами называются все натуральные числа, все числа противоположные им по знаку и нуль.

Обозначается множество целых чисел $Z$ .

$$Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$$

Очевидным является такое вложение $N \subset Z$ .

На множестве целых чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение целых чисел

Суммой двух целых чисел $n$ и$p$ называется целое число$s$, которое вычисляется по правилу:

  • если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $s=n+p$ ;
  • если $n<0$ и $p<0$ , то $s=-(|n|+|p|)$ ;
  • если $n>0$ и $p<0$   $|n| \geq|p|$ , то $s=|n|-|p|$ ;
  • если $n>0$ и $p<0$   $|n|<|p|$ , то $s=-(|p|-|n|)$ ;
  • если $n<0$ и $p>0$   $|n|>|p|$ , то $s=-(|n|-|p|)$ ;
  • если $n<0$ и $p>0$   $|n| \leq|p|$ , то $s=|p|-|n|$ .

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Вычислить сумму целых чисел:

$\left.\begin{array}{llll}{1 ) 5+19} & { ;} & {2 ) 5+(-19)} & { ;} & {3 )-5+19} & { ;} \quad 4\end{array}\right)-5+(-19)$

Решение. 1) 1) $5+19=24$

2) первое слагаемое положительное, а второе отрицательное и модуль второго слагаемого больше модуля первого слагаемое, поэтому сумма будет равна

$$5+(-19)=-(|-19|-|5|)=-(19-5)=-14$$

3) первое слагаемое отрицательное, а второе положительное и модуль второго слагаемого больше первого, сумма при этом будет равна

$$-5+19=(|19|-|-5|)=(19-5)=14$$

4) оба слагаемых отрицательные числа, таким образом, их сумма равна

$$-5+(-19)=-(|-5|+|-19|)=-(5+19)=-24$$

Ответ.

$5+19=24$

$5+(-19)=-14$

$-5+19=14$

$-5+(-19)=-24$

Умножение целых чисел

Произведением двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $m$, вычисляемое по правилу:

  • если $n \geq 0$ и $p \geq 0$ , то $m=n \cdot p$ ;
  • если $n<0$ и $p<0$ , то $m=|n| \cdot|p|$ ;
  • если $n>0$ и $p<0$ или если $n<0$ и $p>0$ , то $s=-(|n| \cdot|p|)$ ;
  • если $n=0$ или $p=0$ , то $m=0$ .

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти произведение целых чисел:

$1)5 \cdot 9 \quad;\quad 2 ) 5 \cdot(-9) \quad;\quad 3 )-5 \cdot(-9) \quad;\quad 4 ) 5 \cdot 0$

Решение. 1) $5 \cdot 9=45$

2) первый множитель положительный, а второй отрицательный, произведение будет также числом отрицательным:

$$5 \cdot(-9)=-(5 \cdot|-9|)=-(5 \cdot 9)=-45$$

3) оба множителя отрицательные, следовательно, их произведение число положительное:

$$-5 \cdot(-9)=|-5| \cdot|-9|=5 \cdot 9=45$$

4) при умножении на нуль всегда в результате получаем нуль:

$$5 \cdot 0=0$$

Ответ.

$5 \cdot 9=45$

$5 \cdot(-9)=-45$

$-5 \cdot(-9)=45$

$5 \cdot 0=0$

Вычитание целых чисел

Разностью двух целых чисел $n$ и $p$ называется целое число $r$, вычисляемое по правилу

$$r=n+(-p)$$

т. е. разность двух целых чисел $n$ и $p$ есть сумма целого с числа $n$ и числа $(-p)$ , противоположного числу $p$. Следовательно, разность вычисляется по правилу сложения двух целых чисел.

Подробнее о вычитании чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти разность чисел:

$1 )-27-13 \quad;\quad 2 ) 27-(-5)$

Решение. По правилу вычитания целых чисел первое выражение примет вид:

$$-27-13=-27+(-13)$$

По правилу сложения целых чисел это равно:

$$-27-13=-27+(-13)=-(|-27|+|-13|)=$$

$$=-(27+13)=-40$$

Второе выражение запишется в виде:

$$27-(-5)=27+(-(-5))=27+5=32$$

Ответ.

$-27-13=-40$

$27-(-5)=32$

Деление целых чисел

Частным от деления целого числа $m$ на целое число $n$ ( $n \neq 0$ ) называется целое число $p$, которое удовлетворяет правилу: $m=n \cdot p$ . О числе $p$ говорят, что оно получено в результате деления числа $m$ на число $n$, и пишут:

$$p=m : n$$

На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима - не для любой пары целых чисел существует частное. Поэтому говорят, что множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.


Читать дальше: что такое частное чисел.

Другая информация