Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера

Пусть $z=a+b i$ - некоторое комплексное число. По определению полагают, что

$e^{z}=e^{a+b i}=e^{a} e^{b i}=e^{a}(\cos b+i \sin b)$

Если число $z$ - действительное, то есть $z=a=a+0 \cdot i$, то

$e^{z}=e^{a+0 \cdot i}=e^{a}(\cos 0+i \sin 0)=e^{a}$

Если число $z$ - чисто мнимое, то есть $z=b i=0+b i$, то

$e^{z}=e^{0+b i}=e^{b i}=\cos b+i \sin b$

Таким образом, имеем равенство

$e^{b i}=\cos b+i \sin b$

которое называется формулой Эйлера.

Показательная форма записи комплексного числа

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: $z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)$. По формуле Эйлера

$\cos \phi+i \sin \phi=e^{i \phi}$

а тогда

$z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)=|z| e^{i \phi}$

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

$z=|z| e^{i \phi}$

Пример

Задание. Записать комплексное число $z=3-4 i$ в показательной форме.

Решение. Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:

$|z|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$\phi=\operatorname{arctg} \frac{-4}{3}=-\operatorname{arctg} \frac{4}{3}$

Тогда

$z=|z| e^{i \phi}=5 e^{-i \operatorname{arctg} \frac{4}{3}}$

Ответ. $z=5 e^{-i \operatorname{arctg} \frac{4}{3}}$

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа $z_{1}=\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}}$ на комплексное число $z_{2}=\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}$ выглядит следующим образом:

$z_{1} \cdot z_{2}=\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}} \cdot\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{1}+i \phi_{2}}=$

$=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| e^{i\left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)}$

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа $z_{1}=\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}}$ на комплексное число $z_{2}=\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}$ :

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}}}{\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|} e^{i \phi_{1}-i \phi_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|} e^{i\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)}$

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа $z$ в целую степень $n$ нужно представить это число в показательной форме $z=|z| e^{i \phi}$, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в $n$ раз:

$z^{n}=\left(|z| e^{i \phi}\right)^{n}=|z|^{n} e^{i n \phi}$


Читать дальше: сложение и вычитание комплексных чисел.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация