Операции с комплексными числами в показательной форме
Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям
умножения комплексных чисел, их
деления и
возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа
$z_{1}=\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}}$ на комплексное число
$z_{2}=\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}$ выглядит следующим образом:
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа
$z_{1}=\left|z_{1}\right| e^{i \phi_{1}}$ на комплексное число
$z_{2}=\left|z_{2}\right| e^{i \phi_{2}}$ :
Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.
Для возведения комплексного числа
$z$ в целую степень
$n$ нужно представить это число в показательной форме
$z=|z| e^{i \phi}$, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в
$n$ раз:
$z^{n}=\left(|z| e^{i \phi}\right)^{n}=|z|^{n} e^{i n \phi}$