Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть задано комплексное число $z=a+b i$ . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть $a$, а ордината - мнимой части $b$ (рис. 1).

Абсциссу $a$ и ординату $b$ комплексного числа $z=a+b i$ можно выразить через модуль $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ и аргумент $\phi$ следующим образом:

$a=|z| \cos \phi, b=|z| \sin \phi$

В данном случае $\phi$ и $|z|$ удовлетворяют соотношениям:

$\sin \phi=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \cos \phi=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \phi \in[0 ; 2 \pi)$

Тогда

$a=|z| \cos \phi, b=|z| \sin \phi$

$z=a+b i=|z| \cos \phi+i \cdot|z| \sin \phi=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)$

Таким образом, для всякого комплексного числа $z=a+b i$ справедливо равенство

$z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)$

которое называется тригонометрической формой комплексного числа $z$ .

Пример

Задание. Комплексное число $z=-i$ представить в тригонометрической форме.

Решение. Для заданного числа действительная часть $a=0$, а мнимая часть $b=-1$ . Тогда модуль этого числа

$|z|=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{0+1}=1$

а аргумент

$\phi=\operatorname{arctg} \frac{-1}{0}=-\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}$

Отсюда получаем, что

$z=1 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{2}+i \sin \frac{3 \pi}{2}\right)=\cos \frac{3 \pi}{2}+i \sin \frac{3 \pi}{2}$

Ответ. $z=\cos \frac{3 \pi}{2}+i \sin \frac{3 \pi}{2}$

Читать дальше: показательная форма записи комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация