Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется число $z$, которое задается соотношением:

$z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i$

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

  1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
  2. в числителе умножают два комплексных числа;
  3. полученную дробь почленно делят.
Пример

Задание. Найти частное $\frac{-2+i}{1-i}$

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю $1-i$, это будет $1+i$, тогда имеем:

$\frac{-2+i}{1-i}=\frac{-2+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что $i^{2}=-1$:

$\frac{-2+i}{1-i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=$

$=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Ответ. $\frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ в геометрической форме: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)}{\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)}$ , то искомое число

$z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\left[\cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\right]$

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Пример

Задание. Найти частное $\frac{z_{1}}{z_{2}}$, если $z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$, а $z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}$

Решение. Искомое частное

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=$

$=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=$

$=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i$

Ответ. $\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i$

Читать дальше: возведение комплексного числа в степень.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация