Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).

Комплексному числу $z=a+b i$ будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка $(a ; b)$: $z=a+b i \leftrightarrow(a ; b)$ (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа $z_{1}=2+3 i$, $z_{2}=i$ и $z_{3}=-2$ .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором $\overline{O M}$ (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число $z=a+b i$, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

$|z|=|a+b i|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Пример

Задание. Найти модуль комплексного числа $z=5-3 i$

Решение. Так как $\operatorname{Re} z=5$, $\lim z=-3$, то искомое значение

$|z|=|5-3 i|=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

Ответ. $|z|=\sqrt{34}$

Замечание

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как $r$ или $\rho$ .

Аргумент комплексного числа

Угол $\phi$ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора $\overline{O M}$, соответствующим комплексному числу $z=a+b i$, называется аргументом этого числа и обозначается $\arg z$ .

Аргумент $\phi$ комплексного числа $z=a+b i$ связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:

$\phi=\operatorname{tg} \frac{b}{a}, \cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

$\phi=\arg z=\arg (a+b i)=\left\{\begin{array}{l}{\operatorname{arctg} \frac{b}{a}, a \geq 0} \\ {\operatorname{arctg} \frac{b}{a}+\pi, a<0}\end{array}\right.$

Пример

Задание. Найти аргумент комплексного числа $z=-3-3 i$

Решение. Так как $a=\operatorname{Re} z=-3<0$, то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть

$\phi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{-3}{-3}+\pi=\operatorname{arctg} 1+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5 \pi}{4}$

Ответ. $\phi=\arg z=\frac{5 \pi}{4}$

Аргумент действительного положительного числа равен $0^{\circ}$, действительного отрицательного - $\pi$ или $180^{\circ}$. Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный $\frac{\pi}{2}$, с отрицательной мнимой частью - $\frac{3 \pi}{2}$ .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).


Читать дальше: комплексно сопряженные числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация