Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Произведением двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется комплексное число $z$, равное

$z=z_{1} \cdot z_{2}=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) i$

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены $\left(a_{1}+b_{1} i\right)\left(a_{2}+b_{2} i\right)$, просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что $i^{2}=-1$ .

Пример

Задание. Найти произведение комплексных чисел $z_{1}=2+3 i$ и $z_{2}=-1+i$ .

Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

$z_{1} \cdot z_{2}=(2+3 i)(-1+i)=2 \cdot(-1)+2 \cdot i+3 i \cdot(-1)+3 i \cdot i=$

$=-2+2 i-3 i+3 i^{2}=-2-i+3 \cdot(-1)=-5-i$

Ответ. $z_{1} \cdot z_{2}=-5-i$

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ заданы в геометрической форме: $z_{1}=\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)$, $z_{2}=\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)$, то произведением этих чисел есть число

$z_{1} z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\cos \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)\right]$

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Пример

Задание. Найти произведение чисел $z_{1}=3 \cdot\left(\cos 10^{\circ}+i \sin 10^{\circ}\right)$, $z_{2}=2 \cdot\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)$ .

Решение. Модуль произведения равен $|z|=3 \cdot 2=6$, а аргумент $\phi=10^{\circ}+50^{\circ}=60^{\circ}$, а тогда искомое число в тригонометрической форме имеет вид:

$z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)=6 \cdot\left(\cos 60^{\circ}+i \sin 60^{\circ}\right)$

Запишем результат в алгебраической форме, для этого вычислим значения соответствующих тригонометрических функций, будем в результате иметь:

$z=6 \cdot\left(\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=3+3 \sqrt{3} i$

Ответ. $z=6 \cdot\left(\cos 60^{\circ}+i \sin 60^{\circ}\right)=3+3 \sqrt{3} i$

Читать дальше: деление комплексных чисел.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация