Понятие комплексного числа

Определение

Комплексным числом называется выражение вида $z=a+b i$

Например. $z=3-7 i$

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Определение

Действительное число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z=a+b i$ и обозначается $a=\operatorname{Re} z$ (От французского слова reel - действительный).

Действительное число $b$ называется мнимой частью числа $z=a+b i$ и обозначается $b=\operatorname{Im} z$ (От французского слова imaginaire - мнимый).

Например. Для комплексного числа $z=3-7 i$ действительная часть $a=\operatorname{Re} z=3$, а мнимая - $b=\operatorname{Im} z=-7$ .

Если действительная часть комплексного числа $z=a+b i$ равна нулю ( $a=\operatorname{Re} z=0$ ), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например. $z=-2 i$

Мнимая единица

Величина $i$ называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

$i^{2}=-1$

Равные комплексные числа

Два комплексных числа $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

$z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow a_{1}=a_{2} \wedge b_{1}=b_{2}$

Пример

Задание. Определить при каких значениях $x$ и $y$ числа $z_{1}=2-x i$ и $z_{2}=y+2 i$ будут равными.

Решение. Согласно определению $z_{1}=z_{2}$ тогда и только тогда, когда

$2=y \wedge-x=2 \Rightarrow y=2, x=-2$

Ответ. $x=-2, y=2$

Число $\overline{z}=a-b i$ называется комплексно сопряженным числом к числу $z=a+b i$ .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа $z_{1}=2+3 i$ комплексно сопряженным есть число $\overline{z}_{1}=2-3 i$ ; для $z_{2}=i$ комплексно сопряженное $\overline{z}_{2}=-i$ и для $z_{3}=-2$ имеем, что $\overline{z}_{3}=-2$ .

Комплексное число  $-z=-a-b i$  называется противоположным к комплексному числу $z=a+b i$ .

Например. Противоположным к числу $z=2+i$ есть число: $-z=-(2+i)=-2-i$ .


Читать дальше: геометрическая интерпретация комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация