Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возводить в натуральную степень $n$, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число $z=a+b i$ задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число $z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)$, тогда умножая его само на себя $n$ раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень $n$), получим:

$z^{n}=(|z|(\cos \phi+i \sin \phi))^{n}=|z|^{n}(\cos n \phi+i \sin n \phi)$

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если $|z|=1$, то получаем, что

$z^{n}=(\cos \phi+i \sin \phi)^{n}=\cos n \phi+i \sin n \phi$

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Пример

Задание. Найти $z^{20}$, если $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$

Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:

$|z|=\left|\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{4}{4}}=1$

$\arg z=\arg \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=\operatorname{arctg} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\operatorname{arctg} \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$

Тогда

$z=1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}$

А отсюда, согласно формуле, имеем:

$z^{20}=\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{20}=\cos \left(20 \cdot \frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(20 \cdot \frac{\pi}{3}\right)=$

$=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3}=\cos \frac{21 \pi-\pi}{3}+i \sin \frac{21 \pi-\pi}{3}=$

$=\cos \left(7 \pi-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(7 \pi-\frac{\pi}{3}\right)= \cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=$

$=-\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$

Ответ. $z^{20}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$

Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация