Формы записи комплексного числа

Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=a+b i$, где $a$ и $b$ - действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.

Например. $z=1-i$

Подробнее о данной форме записи комплексных чисел по ссылке →

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ - модуль комплексного числа $z=a+b i$, а $\phi$ - его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа $z$ называется выражение

$z=|z|(\cos \phi+i \sin \phi)$

Пример

Задание. Записать число $z=1-i$ в тригонометрической форме.

Решение. Для получения тригонометрической формы заданного комплексного числа найдем вначале его модуль и аргумент. Так как $a=\operatorname{Re} z=1$, $b=\operatorname{Im} z=-1$, то

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$

$\arg z=\operatorname{arctg} \frac{b}{a}=\operatorname{arctg} \frac{1}{-1}=\operatorname{arctg}(-1)=-\operatorname{arctg} 1=-\frac{\pi}{4}$

Тогда тригонометрическая форма заданного числа $z=1-i$ имеет вид:

$z=1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ. $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

Подробнее о данной форме записи комплексных чисел по ссылке →

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа $z=a+b i$ называется выражение

$z=|z| e^{i \phi}$

Пример

Задание. Комплексное число $z=2 i$ записать в показательной форме.

Решение. Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2$

$\arg z=\operatorname{arctg} \frac{b}{a}=\operatorname{arctg} \frac{2}{0}=\operatorname{arctg} \infty=\frac{\pi}{2}$

А тогда имеем, что

$z=2 e^{i \frac{\pi}{2}}$

Ответ. $z=2 e^{i \frac{\pi}{2}}$

Заметим, что показательную и тригонометрическую формы комплексного числа связывает формула Эйлера:

$e^{i \phi}=\cos \phi+i \sin \phi$


Читать дальше: алгебраическая форма записи комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация