Алгебраическая форма комплексного числа

Определение

Запись вида $z=a+b i$ называется алгебраической или координатной формой комплексного числа $z$.

При этом действительное число $a$ называется действительной частью числа $z$: $a=\operatorname{Re} z$, а действительное число $b$ - его мнимой частью: $b=\operatorname{Im} z$ .

Величина $i$ называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству $i^{2}=-1$ .

Например. Для числа $z=3-2 i$ действительная часть $\operatorname{Re} z=3$, а мнимая - $\operatorname{Im} z=-2$ .

Пример

Задание. Записать число $z=\frac{3+i}{5}$ в алгебраической форме. Определить, чему равны мнимая и действительная части.

Решение. Почленно поделим дробь:

$z=\frac{3+i}{5}=\frac{3}{5}+\frac{i}{5}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} i$

Тогда

$\operatorname{Re} z=\frac{3}{5}, \operatorname{Im} z=\frac{1}{5}$

Ответ. $z=\frac{3}{5}+\frac{1}{5} i,$ Re $z=\frac{3}{5},$ Im $z=\frac{1}{5}$

Операции с комплексными числами в алгебраической форме

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением комплексных чисел в алгебраической форме, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные (как операции над алгебраическими двучленами), при этом надо учесть, что $i^{2}=-1$ .

Пример

Задание. Найти сумму и произведение комплексных чисел $z_{1}=2-3 i$ и $z_{2}=3+i$ .

Решение. Чтобы найти сумму заданных комплексных чисел, складываем соответственно их действительные и мнимые части:

$z_{1}+z_{2}=2-3 i+(3+i)=(2+3)+(-3 i+i)=5-2 i$

Произведение равно

$z_{1} \cdot z_{2}=(2-3 i) \cdot(3+i)=6+2 i-9 i-3 i^{2}=$

$=6-7 i-3 \cdot(-1)=9-7 i$

Ответ. $z_{1}+z_{2}=5-2 i, z_{1} \cdot z_{2}=9-7 i$

Читать дальше: тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация