Интеграл от экспоненциальной функции

Формула

$$\int e^{x} d x=e^{x}+C$$

Интеграл от экспоненты равен этой же экспоненте плюс константа интегрирования

Отметим тот факт, что данная формула получается из формулы для интеграла от показательной функции при $a=e$ с учетом того факта, что $\ln e=1$ .

Если степень экспоненты есть сложная функция вида $ax+b$, то неопределенный интеграл будет равен:

$$\int e^{a x+b}+C=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C$$

Примеры вычисления интеграла экспоненты

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int 4 \cdot e^{x} d x$

Решение. Константу выносим за знак интеграла и далее применяем формулу:

$$\int 4 \cdot e^{x} d x=4 \int e^{x} d x=4 e^{x}+C$$

Ответ. $\int 4 \cdot e^{x} d x=4 e^{x}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int e^{2 x} d x$

Решение. Согласно второй формуле при $a=2$ имеем:

$$\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

Ответ. $\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$

Читать дальше: интеграл синуса.

Другая информация